線形代数学演習問題１問題 1  2 1 4 −4 −3 5    A= , 0 2 −1 −1 3 0    3 −2 1   B = −1 0 5 , 2 3 −1   1 0   C = 3 −5 2 −1 として，AB, AC, BC を計算せよ．問題 2    A=    a1 0 a2 .. 0 ,   .    B=    b1 .. 0 an 0 b2    . bn として AB を計算せよ．問題 3 n 次正方行列  0      A=     1 0 0 ··· 1 ··· .. .. . . .. . 0  0 0 0 0  .. ..  . .   1 0   0 1 0 に対して Ak (k = 1, 2, · · · ) を計算せよ．問題 4 n 次正方行列 A に対して，tr A = ぶ．次を示せ； 1) tr(A + B) = tr A + tr B, 2) tr(AB) = tr(BA). n ∑ i=1 Aii を A の跡 (trace) と呼線形代数学演習問題２問題 1 次の行列の行列式を計算せよ；   [ ] 1 −2 1 2 5   A= , B = 3 −1 2  , −1 3 1 1 −2   a b c   C = c a b . b c a 問題 2 次の行列の行列式を計算せよ；     1 a b c+d 2a + b + c b c  1 b c d + a     A= a a + 2b + c c , B =  . 1 c d a + b  a b a + b + 2c 1 d a b+c 問題 3 次の等式を示せ；  1 −x 0 1  det  0 0 a b  0 0 −x 0    = ax3 + bx2 + cx + d. 1 −x c d 問題 4 次の行列の行列式を計算せよ；    0 1 0 0 2 1 1 3   −1 0 1 0  6 2 −1 1     A= , B = 1   0 −1 0  1 3 4 5 0 0 −1 0  −1 2 3 7 0 0 0 −1 問題 5 次の等式を示せ；  x y 2 7  z w 4 1  det  0 0 a b 0 0 d e  0 0 g h  0  0  0 . 1  0  9    [ ] 3 a b c  x y   c  = det z w · det d e f  . f g h k  k 問題 6 次の等式を n に関する数学的帰納法により示せ；   1 1 1 ··· 1  x x2 x3 · · · xn    1 ∏   2 2 2 2 x x2 x3 · · · xn  = (−1)n(n−1)/2 (xi − xj ). det    1 .. .. ..   .. .. 1≤i<j≤n .  . . . .  xn−1 xn−1 xn−1 · · · xn−1 n 1 2 3 ( ) n! n 問題 7 = を二項係数とする． m!(n − m)! m ( )( ) ( ) r ∑ q r q+r 1) q ≥ r ≥ 0 のとき = を示せ， i i r i=0 2) 次の等式を示せ；  1 (1) ( ) 2  1   1 1 ( ) ( )  3  2 det   2 2   . ..  .. ( ) ( . )  n+1  n n n ··· ··· ··· .. . ···  ( 1 ) n+1    1 ( )  n+2   = 1.  2   ..  . ( )   2n  n 線形代数学演習問題３ [ ] a b 問題 1 2 次正方行列 A = が正則行列のとき，A−1 を求めよ． c d 問題 2 次の 4 次正方行列の行列式と余因子行列を求めよ；     3 2 5 −4 3 −5 2 10 −7 1 −8 6  2 0 1 −3     A=  , B =   10 3 6 −2 3 1 5 2 −2 −3 4 2 2 5 4 3 問題 3 n 次正方行列 B は或る正の整数 m に対して B m = O を満たすとする．このとき，A = En − B は正則行列であり A−1 = En + B + B 2 + · · · + B m−1 であることを示せ．問題 4 n 次正方行列 A に対して m (En + A) ( ) m ∑ m Ak = k k=0 ( ) m! m が成り立つことを示せ．ここで = は二項係数である． k!(m − k)! k A0 = En とする．問題 5 次の連立方程式を，Cram´er の公式および逆行列を用いて解け；  2x + y + z + w = 1     6x + 2y − z + w = 2 .  x + 3y + 4z + 5w = 3    −x + 2y + 3z + 7w = 4 線形代数学演習問題４問題 1   0 2 4 2   A= 1 2 3 1 −2 −1 0 1 に対して 1) rank(A) を求めよ（実は rank(A) = 2），   1 0 0 0   2) P AQ = 0 1 0 0 となる 3 次正則行列 P と 4 次正則行列 Q 0 0 0 0 を求めよ．   1 2 0 −1 −3 −5 1 2    問題 2 行列の基本変形を用いて   の逆行列を求めよ． 1 3 2 −2 0 2 1 −1 問題 3 n 次正方行列  1 x x ··· x 1 x · · ·   x x 1 · · ·   .. .. .. . . . . . . x x x ···  x x   x  ..  . 1 (n ≥ 2) の階数 (rank) を求めよ．問題 4 次の連立方程式を解け；  2x + 4y + z − w     x + 2y − z + w  2x + y + z + 2w    x + 3y + 2z − 3w =1 =2 . = −2 =0