集合と位相第一演習第5回

集合と位相第一演習第５回 (2014.06.11)
1. 集合 A1 と A2 の濃度が等しく、また、B1 , B2 も互いに濃度が等しいとする。
(1) A1 ∩ B1 = A2 ∩ B2 = ∅ のとき、A1 ∪ B1 と A2 ∪ B2 の濃度が等しいことを示せ。
(2) A1 × B1 と A2 × B2 の濃度が等しいことを示せ。
(3) B1A1 と B2A2 の濃度が等しいことを示せ。
2. 閉区間 [0, 1] と開区間 (0, 1) が対等である事を全単射を構成する事で直接示せ。
3. 次の集合の濃度が等しい事を示せ。
(1) N × N と N
(2) Q と N
(3) a > 1 とし、半開区間 (0, 1] と開区間 (0, a)
4. 単位円 S 1 := {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1} の濃度は ℵ であることを示せ。
5. 集合 A, B, C に対して AB×C と (AB )C は対等であることを示せ。これを利用して、RQ
と R が対等である事を示せ。
レポート
問題
1. 素数全体の集合の濃度は可算濃度である事を示せ。
2. 実数 a < b に対して、閉区間 [a, b] の濃度が ℵ であることを示せ。
3. 単位円の内部 D := {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 1} の濃度は ℵ であることを示せ。
4. 以下の集合を、有限集合、可算集合、非可算集合に分類せよ（簡単でいいので、理由も書
く事）。
A = {0, 1}, A × A, AA , N, Z, Q, R, R × R, C, Z × Z, N × N × N, 2N , 2R , RR
締め切り
６月１７日（火）午後５時
次回の演習は、６月２５日（水）です。

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