演習問題5

線形代数学Ⅱ 演習問題 5
2014 年度後期
工学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) 提出期限は 2015 年 1/9 (金) の講義時とします。
問題 5-1. (固有値と固有ベクトル)
以下の正方行列 A, B を考える。
(
A=
17
−10

3 4

B = 1 6
4 4
)
30
,
−18
このとき以下の設問に答えなさい。
(1) 正方行列 A, B の固有値、固有ベクトルを全て求めなさい。
(2) 正方行列 A, B を対角化しなさい。
(3) (2) の結果を用いて An , B n を計算しなさい。
問題 5-2. (行列の対角化の応用: 連立漸化式)
連立漸化式
{
an+1
bn+1
= 8an − 6bn
,
= 9an − 7bn

n−1
8 −6

を
を計算することにより解きなさい。
9 −7
1
{
a1
b1
= 1
= 1

−6

−6
−7
問題 5-3.∗ (ジョルダン標準形)
2 次正方行列
(
A=
)
6 −4
4 −2
について、以下の設問に答えなさい。
(1) 行列 A の固有値は唯一つ固有値を持つ。その固有値 λ を求めなさい。
(2) 固有値 λ に関する固有空間 Wλ の次元が 1 次元であることを証明しなさい*1 。また、固有空
間 Wλ の基底 (つまり固有ベクトル) v を一つ求めなさい。
(3) (A − λI2 )v ′ = v を満たすベクトル v ′ を一つ求めなさい (但し I2 は 2 次単位行列)。
(4) 2 次正方行列 P を P = (v v ′ ) で定める。このとき、P が正則であることを証明し、逆行列
P −1 を求めなさい。また、P −1 AP を計算しなさい。[特に P −1 AP がどのような形の行列に
なっているかを確認しよう。P −1 AP を A のジョルダン標準形 Jordan canonical form と
呼びます。]
(5) 実数 α 及び自然数 n に対して
(
α
0
1
α
)n
(
=
αn
0
nαn−1
αn
)
が成り立つことを示しなさい。また、この結果を用いて An を計算しなさい。
[ヒント]
( )
( )
a
x
′
(4) v =
であったとすると、v =
は連立一次方程式
b
y
{
(6 − 2λ)x
4x
−
4y
+ (−2 − λ)y
= a
= b
の解に他ならない。したがって拡大係数行列
(
6 − 2λ
4
−4
−2 − λ
a
b
)
を行標準形に変形してゆけば良い。
(5) 例えば n = 2, 3, . . . のときに試しに計算してみれば、感覚はつかめる筈。
この手の自然数に関する証明問題をきちんと解く際には数学的帰納法が有効です。
*1
講義でも扱ったように、このことは A が対角化出来ない (!!!) ことを表しています。そんなときにも頑張ればある程
度「きれいな」形に変形出来る、というのがジョルダン標準形の理論です。
2

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