灘中算数 灘進学教室 ０６（６８５５）３３５４ ０７９７（６４）９３６０ http://nadasingaku.com 灘中 ０５年 第２日（すべて類題） ２ 兄弟２人が、Ｐ地点とＱ地点を結ぶ一本道を、それぞれ一定の速さで走って２往復した。 兄はＰから、弟はＱから、同時に出発して、走り終えるまでに４カ所で１回ずつ出会った。 この４カ所を、出会った順にＡ地点、Ｂ地点、Ｃ地点、Ｄ地点とすると、 ＡはＰＱを５：４に分ける点であり、ＡＢ間は８００ｍであった。 また、兄は弟より１８分速く走り終えた。 (1) ＰＱ間の距離を求めよ。 (2) 兄、弟の走る速さを求めよ。 (3) ＢＣ間、ＣＤ間の距離を求めよ。 【解説】 ★２人の動きが把握しやすいように簡単なグラフを描く ④ ⑩ Ｑ ⑳ ⑫ 弟 Ｃ Ａ Ｂ 兄 Ｐ ① Ｄ ⑮ ⑯ ⑧ ⑤ 兄、弟の速さの比は５：４だから ＰＱ＝９とすると 兄の動きより ② ＰＢ＝９×３× 4 −９＝３ 9 ＡＢ＝ＰＡ−ＰＢ＝５−３＝２＝８００ｍ より ＰＱ＝９＝３６００ｍ ④ 5 ＝５ 9 Ｂで出会うまでに、兄弟は合計１.５往復するから（合計距離は９×３） 弟の動きより ③ ＰＡ＝９× １＝４００ｍ ←(1)の答 兄、弟が距離ＰＱを進むのにかかる時間を④、⑤とすると 折り返しの時刻は図の通り 走り終えた時刻の差＝⑳−⑯＝④＝１８分 より 兄のＰＱ間＝④＝１８分 兄の分速＝３６００÷１８＝２００ｍ 弟の分速＝２００× 4 ＝１６０ｍ 5 ←(2)の答 ←(2)の答 ⑤ Ｃ、Ｄで出会うまでに、兄弟は、それぞれ合計２.５往復、３.５往復するから 兄の動きより ＰＣ＝９×５× 5 −９×２＝７ 9 ＢＣ＝ＰＣ−ＰＢ＝７−３＝４＝１６００ｍ 弟の動きより ＰＤ＝９×７× ←(3)の答 4 −９×３＝１ 9 ＣＤ＝ＰＣ−ＰＤ＝７−１＝６＝２４００ｍ ←(3)の答 灘中算数 灘進学教室 ０６（６８５５）３３５４ ０７９７（６４）９３６０ http://nadasingaku.com 灘中 ０５年 第２日（すべて類題） ４ 図のような時計板がある。 最初は針が１２を指している。 サイコロを投げて、偶数の目が出れば、出た目の数だけ針を時計回りに回転させ、 奇数の目が出れば、出た目の数だけ針を反時計回りに回転させる。 11 例えば、４の目が出ると、針は４を指す。５の目が出ると、針は７を指す。 サイコロを４回投げるとき、最後に指す数字が１２になるような、サイコロの目の出方を考える。 次の表の①以外の場合を、①にならって、重複しないようにすべて書け。 １回目 ２ ２回目 １ ３回目 ２ ４回目 ３ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ 【解説】 (1) ① ４回の出目の和が１２または２４になればよい ② 和＝２４になるのは ③ 和＝１２になる組合せは （６、６、６、６）のみで １通り （２、２、２、６）（２、２、４、４）のいずれか （２、２、２、６）のとき ４通り （２、２、４、４）のとき 4 C 2 = 4 × 3 = ６通り 2 ×1 ④ 求める場合の数＝１＋４＋６＝１１通り (2) ① ４回の出目の和が１２になればよい 組合せは （１、１、５、５）（１、３、３、５）（３、３、３、３）のいずれか C 2 = 4 × 3 = ６通り 2 ×1 （１、１、５、５）のとき 4 （１、３、３、５）のとき ４×３＝１２通り（１の場所は４通り、それぞれに対して５の場所は３通り） （３、３、３、３）のとき １通り ② 求める場合の数＝６＋１２＋１＝１９通り (3) ① １回目＝２だから １回目後の場所＝２ ② 残り奇数１回で１２にもどるから ③ 場所の移動 ３回目後の場所＝１、３、５ のいずれか ２・３回目の組合せ 場合の数 ２→○→１ 奇＝偶＋１→（２、３）（４、５） ２×２＝４通り ２→○→３ 偶＝奇＋１→（１、２）（３、４）（５、６） ２×３＝６通り ２→○→５ 偶＝奇＋３→（１、４）（３、６） ２×２＝４通り 全部で ４＋６＋４＝１４通り あり、 4 7 (3) １回目には２の目が、４回目には奇数の目が出るような、４回の目の出方のうち、 ④ 3 8 (2) ４回とも奇数の目が出るような目の出方は何通りあるか。 ③ 2 9 (1) ４回とも偶数の目が出るような目の出方は何通りあるか。 ② 1 10 また、サイコロを２回投げて５の目、４の目が順に出ると、針の指す数字は、１２→７→１１と変わる。 ① 12 表にすると次のようになる ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ １回目 ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２回目 １ ２ ３ ４ ５ ２ ３ ４ ５ ６ １ ４ ３ ６ ３回目 ２ ３ ２ ５ ４ １ ４ ３ ６ ５ ４ １ ６ ３ ４回目 ３ １ １ １ １ ３ ３ ３ ３ ３ ５ ５ ５ ５ 6 5 灘中算数 灘進学教室 ０６（６８５５）３３５４ ０７９７（６４）９３６０ http://nadasingaku.com 灘中 ０５年 第２日（すべて類題） １ ２３５や３０７のように、百の位、十の位、一の位の各数を加えると１０になる３桁の整数を考える。 (1) このような整数のうち、百の位の数が１であるものは 個ある。 (2) このような整数のうち、百の位の数が５であるものは 個ある。 (3) このような整数は全部で 個ある。 (4) このような整数のうち、十の位の数が１であるものは 個ある。 (5) このような整数を全部加えるといくらになるか。 ３ 図①は１辺６ｃｍの立方体で、ＡＰ、ＡＱ、ＢＲはいずれも２ｃｍである。 ３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの立方体を切る。 (1) 図②はこの立方体の展開図である。 点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面による立方体の切り口を図②にかき入れよ。 図１ Ｐ Ａ 図２ Ｑ Ｐ Ｑ Ｂ Ａ Ｒ (2) (1)でかき入れた線に沿って展開図をはさみで切ると、展開図はいくつかの部分に分かれる。 そのうち面積が一番大きいものと二番目に大きいものの面積を求めよ。 ５ 7cm Ａ 台の上に長方形の枠ＡＢＣＤがある。台の上の球は枠に当たると、当たったときと同じ角度で Ｄ はねかえるが、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのうちのどこかに来るとそこで止まる。 球を辺ＡＢ、ＡＤのどちらとも４５°の方向にＡから発射する。球の大きさは無視する。 図は、ＡＢの長さが４ｃｍ、ＡＤの長さが７ｃｍのとき、球が動いた線を示したものである。 4cm この場合、球はＢで止まり、この線によってできる正方形のうち最も小さいものは９個である。 Ｂ (1) ＡＢの長さが５ｃｍ、ＡＤの長さが８ｃｍのとき、球はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのうちのどこで止まるか。 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ また、球が動いた線によってできる正方形のうち、最も小さいものは何個あるか。 (2) ＡＢの長さが２０ｃｍ、ＡＤの長さが２８ｃｍのとき、球はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのうちのどこで止まるか。 また、球が動いた線の長さは、(1)の球が動いた線の長さの何倍か。 (3) ＡＢの長さもＡＤの長さも１ｃｍの整数倍で、ＡＢの長さがＡＤの長さよりも小さいとする。 球はＣで止まり、球が動いた線によってできる正方形のうち、最も小さいものは３６個である。 このような長方形ＡＢＣＤのうち、面積が最も小さいもののＡＢの長さとＡＤの長さを求めよ。
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