微分積分 I 2014/07/11 1/2 問題 区間 [0, π2 ] 上で定義された関数 f (x) = x + 2 sin x を考える。このとき、 (1) 関数 f (x) の増減表を作成し、グラフの概形を描け。 (2) この区間での極大値、極小値、最大値、最小値を求めよ。 解答 (1) 関数 f (x) を x について微分することで、 f ′ (x) = 1 + 2 cos x よって、f ′ (x) = 0 を解くことで、下記の極値の候補が得られる。 2 cos x = −1, cos x = − 1 2 ∴ x= 2π 4π + 2kπ, + 2kπ, (k = ±1, ±2, · · · ) 3 3 ここで、どの値も区間 [0, π2 ] に含まれていない。 増減表は、 x 0 ··· π 2 f ′ (x) 3 + 1 ↗ f (x) 2.0 0.0 1.0 f(x) 3.0 となり、関数 f (x) のグラフの概形は、x に 2 sin x を加えたものであるから、 0.0 0.5 1.0 1.5 x となる。 (2) よって、関数 f (x) は閉区間 [0, π/2] で定義されているので、極大値は、x = π のとき、 2 π π π π f ( ) = + 2 × sin( ) = + 2 2 2 2 2 また、これは最大値となっている。 極小値は、x = 0 のとき、 f (0) = 0 + 2 × sin(0) = 0 1/2 微分積分 I 2014/07/11 2/2 これは、最小値でもある。 したがって、 極大値 最大値 π π のとき、 +2 2 2 π π x = のとき、 +2 2 2 x= 極小値 x = 0 のとき、 0 最小値 x = 0 のとき、 0 2/2
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