演習問題2．

線形代数学 III 演習 2.5 （5/2）∗
• 板書する際には学生番号・名前も書いてください．
復習問題 1（※ 板書解答対象外）† 次の連立 1 次方程式を解け．解が存在しない場
合には「存在しない」と述べよ．また，解が複数存在する場合にはパラメータ表示
せよ．




 x−y+z =1
 2x + y − 4z = 1
(1)
(2)
−2y + 4z = −2
−x + y + 2z = 4


 x + y − 3z = 4
 2x + 3y − 4z = 7
{
5x − 10y − 5z + 5w = 5
(3)
−2x + 4y + 2z − 2w = −2
復習問題 2（※ 板書解答対象外）次の連立 1 次方程式が解を持つとき，a, b, c が満
たす条件を求めよ．


 2x − 3y + 3z = a
−x + 2y + z = b


y + 5z = c


0 0 1


問 2-7．A = 0 −1 0 とおく．
1 0 0
(1) A の固有値を求め，各固有値に対する固有空間の正規直交基底を一組求めよ．
(2) A を直交行列で対角化せよ．
(3) n を自然数とするとき，An を求めよ．
問 2-8．実対称行列 A の固有値がすべて一致するとき，A はスカラー行列であるこ
とを示せ．
∗
†
問題作成責任者：小関祥康（特別助教），研究室：6-104，e-mail：[email protected]
これを解いてやり方を思い出した後に問 1-9 に挑戦するとちょうどよいかもしれません．
問 2-9. n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n に対して，Tr A :=
スと呼ぶ．
∑n
i=1
aii を A のトレー
(1) 問 2-7 の行列 A に対して Tr A を求めよ．
(2) n 次正方行列 A, B と定数 c に対して，Tr(A + B) = Tr A + Tr B ，Tr (cA) =
c · Tr A，Tr(AB) = Tr(BA)，Tr(t A) = Tr(A) が成り立つことを示せ．
(3) n 次正方行列 A, B に対して Tr(AB) = Tr A · Tr B は一般には成り立たない．
実際に成り立たないような A, B の例を挙げよ．
(4) トレースとは反対に，行列式に関しては det (AB) = det A · det B が成り立つの
だった．では，det (A+B) = det A+det B ，det (cA) = c·det A，det(AB) = det(BA)
は一般に成り立つと言えるかどうかを調べよ．
問 2-10．n 次実対称行列 A1 , A2 . . . Am が A21 + A22 + · · · + A2m = O を満たすなら
ば A1 = A2 = · · · Am = O であることを示せ．
  

x
2s − 1
【解答：復習問題 1】以下，s, t, u は任意の複素数．(1) 解は存在しない (2) y  =  3 
z
s
  

x
2s + t − u + 1
y  

s



 【解答：復習問題 2】a + 2b = c
(3)   = 

z
t
w
u

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