平成 19 年度線形代数学 IA 試験問題＠松本 (12/18 実施) 以下の問に答えよ。結果だけではなく導出過程も簡明に述べること。単に解答の数値のみが書かれている答案はその正誤に関わらず０点とするので必ず説明を付けること。なお、以下の問題において、特に断りのない限り、行列、ベクトルの成分は全て実数であると考えてよい。解答の順番は問わないが、どの問題の解答であるかが明確に分かるようにすること。 1. 以下の問 (a)∼(d) に答えよ。（配点 40 点、各小問 10 点） ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (a) 3 次元空間中の点 ⎝ 2 ⎠ を通り、方向はベクトル ⎝ −1 ⎠ で与えられる直線と、平面 x+2y+3z = 1 1 0 の交点の座標を求めよ。 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ (b) 3 次元空間中の点 x が与えられたとき、この点を通り、方向ベクトル ⎝ −1 ⎠ である直線と、 1 平面 x + 2y + 3z = 0 の交点 y を対応させる変換は線形変換である。この変換を表す行列（すなわち、y = Ax とする行列 A）を求めよ。 (c) 次の行列式の値を求めよ。 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 (d) 次の行列が正則かどうか答え、正則である場合はその逆行列を求めよ。 ⎛ 1 ⎜1 ⎜ ⎜ ⎝1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 ⎞ 1 1⎟ ⎟ ⎟ 0⎠ 1 2. 以下は正しいか誤りか答え、なぜ正しい/誤りかその理由を述べよ。誤りの場合は、正しい式を与えよ。(配点：60 点、各小問 10 点) (a) A は n 次正則行列であるとき det(A−1 ) = 1 det A である。 (b) A が n 次正方行列であるとき det(−A) = − det A (c) A は n 次正則行列であり、A の余因子行列を adj A とおく。このとき det(adj A) = 1 である。 (注：Cramer の公式より A−1 = 1 det A adjA である) (d) どんな n 次正方行列 A も、B T = B が成り立つ行列 (対称行列) と C T = −C が成り立つ行列の和の形で表すことができる。 (e) A が正則かつ対称な行列であれば A−1 も対称な行列である。 (f) どんな正則行列も基本行列の積の形で表すことができる。（ヒント：基本行列の逆行列も基本行列であること、及び任意の正則行列は左基本変形で階数標準形に変形できることに注意）