9-5. サイズの等しい正方行列 A, B に対し, 正則行列 P が存在して B = P −1 AP となるとき A 数学演習 B（線形代数分野） No.9 (2014 年度 AB) 注意事項・毎回の課題に対する時間内提出物によって評価する．出席を重視するが，出席だけでは合格とならない．・演習時間内は問題を考え，解くことに専念すること．関係のない授業のレポートの作成，携帯電話の操作などがあった場合，その回は欠席したものと見なす．・不正行為は行わないように．1 回目で不合格とする．・演習の時間には，線形代数 IB の講義ノート・プリント類を必ず持参すること．持っていない者の質問には答えない場合もある．と B は相似であるという. A と B が相似であれば det A = det B となる. これを示せ. a1 b1 c1 9-6. 平面上の三直線 ai x + bi y = ci , (i = 1, 2, 3) が一点で交わるならば a2 b2 c2 = 0 が成り a3 b3 c3 立つことを証明せよ. また逆が成立するか否かについて考察せよ. 9-7. サイズの等しい正方行列 A, B に対し， ( ) ( ) ( ) A B det = det A − B det A + B B A が成り立つ．これを示せ． 9-8. 関数 f1 (t), f2 (t) は方程式 9-1. 次の行列式を求めよ． a b 0 c 0 d e 0 (1) 0 0 f g h 0 0 i (2) 2 1 0 2 1 1 1 −2 3 0 −5 −1 −3 0 4 1 (3) 3 −1 1 2 1 0 −2 5 2 1 −1 2 −1 3 2 1 9-2. 以下の行列式を求めよ. (2), (3) については因数分解した形で求めること. a b c 1 1 1 (1) b c a (2) a b c c a b a2 b2 c2 λ −1 0 0 0 1 1 1 1 0 λ −1 0 0 a b c d (3) 2 2 2 (4) 0 0 λ −1 0 2 a b c d 3 3 3 0 0 0 λ −1 a b c d3 a5 a4 a3 a2 λ + a1 No.8 問題略解 (1)   x + 2y − 2z = 0   2x − y + 3z = 2    3x + 4z = −1 (2)   x + y + z = 1   ax + by + cz = d    a2 x + b2 y + c2 z = d2 9-4. 次の行列の余因子行列と逆行列を求めよ. 必ず検算を行うこと.     1 2 1 1 0 0     (1) 2 3 0 (2) a 1 0 3 1 2 b a 1 8-2. (1) −2 (2) −8 (3) xyz − x − y − z + 2 8-3. (1) 1 (2) −1 √ (3) 1 8-4. (1) a10 (2) 400 (3) −24 8-5. (1) 83 (2) 42 (3) 1 8-6. (1) λ ̸= (1 ± 5)/2 √ (2) λ = ̸ 1, 2, 3 8-7. (1) 8 (2) 5 (3) 14 8-8. 略．3 次行列式の定義式を微分して整理すれ 8-1. (1) 2 (2) 0 (3) a2 + 1 9-3. 次の連立 1 次方程式をクラメルの公式を用いて解け. ただし，a, b, c, d は互いに相異なる数である． fi′′ (t) = a(t)fi′ (t) + b(t)fi (t) (i = 1, 2) f f 1 2 を満たすものとし，この関数 f1 , f2 に対して W (t) = ′ と置く．このとき W ′ (t) = a(t)W (t) f1 f2′ が成り立つことを示せ．ここで ′ は t に関する微分を表す．ばよい． 8-9. 略．行列式の性質 (D2) を使えば (1) の結果が得られ，(1) の結果を使えば (2) が得られる． ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 （おまけ問題）8-10 (1) {1, 2, 3} の置換は , , , , 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , の 6 個．符号は順に 1, −1, −1, 1, 1, −1. (2) 略．(1) の結果を使っ 3 1 2 3 2 1 ∑ て σ∈S3 sgnσ aσ(1),1 aσ(2),2 aσ(3),3 を書き下し，3 次行列式の公式と一致することを確かめれば良 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 い． 8-11 = (1 2 4), = (1 3 2 4), = 2 4 3 1 3 4 2 1 4 6 2 1 3 5 (1 4) (2 6 5 3).