2006年度前期多様体演習 (5月19日)

2006 年度前期多様体演習 (5 月 19 日)
1. 多様体 M のコンパクト部分集合 K ⊂ M と K の開近傍 U が与えられた
とき、C ∞ 級関数 F で次の条件を満たすものが存在することを示せ。
(a) 任意の x ∈ K に対して F (x) = 1
(b) 任意の x 6∈ U に対して F (x) = 0
(c) M 上で 0 ≤ F ≤ 1
(ヒントまず K 上で F > 0、U の外で F ≡ 0 となる関数を作り、適当な
一変数関数 g との合成 g ◦ F を考えればよい。 )
2. (a) 微分同相写像 S 1 → RP 1 を一つ与えよ。
(b) 微分同相写像 CP 1 → S 2 を一つ与えよ。
(c) 射影 R3 \ {0} → RP 2 の制限として得られる写像 S 2 → RP 2 が局所
微分同相であることを示せ。
3. n 次正方行列 A の成分が全て整数であるとする。このとき、Tn = Rn /Zn
のの間の写像 FA : Tn 3 [x] 7→ [Ax] ∈ Tn を考える。
(a) FA は well-defined な C ∞ 級写像であることを示せ。
(b) det A 6= 0 であることと FA が全射であることは同値であることを
示せ。
(c) det A = ±1 であることと FA が微分同相であることは同値であるこ
とを示せ。
(d) FA が単射であって、微分同相でないことはあるか？
1

Download Report