平成 26 年度数学Ｃ演習２（ H26. 担当佐藤邦）（次回の講義開始時に回収します。解以外の途中の計算等も余白に書くこと。）問１学籍番号氏名２点 P0 , P1 を通る直線の方程式を求めよ。 ⃝ 1 P0 (3 , 1 , −2), P1 (−2 , 5 , 2) ( ) t0 x − x0 y − y0 z − z0 (分母 ̸= 0) に代入する。 = = = t1 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 y−1 z − (−2) x−3 y−1 z+2 x−3 = = , より − = = −2 − 3 5−1 2 − (−2) 5 4 4 ⃝ 1 − x−3 y−1 z+2 = = 5 4 4 ⃝ 2 P0 (2 , 0 , 1), P1 (3 , −4 , 2) x−2 y−0 z−1 = = , 3−2 −4 − 0 2−1 ∴ y x−2=− =z−1 4 ⃝ 2 y x−2=− =z−1 4 ⃝ 3 x+2 y+1 = , z = −3 3 7 ⃝ 3 P0 (−2 , −1 , −3), P1 (1 , 6 , −3) x − (−2) y − (−1) z − (−3) = = ∴ 1 − (−2) 6 − (−1) −3 − (−3) ⃝ 4 P0 (4 , −1 , 2), P1 (−5 , −4 , 0) x−4 y − (−1) z−2 = = , −5 − 4 −4 − (−1) 0−2 ∴ − x+2 y+1 = , z = −3 3 7 x−4 y+1 z−2 =− =− 9 3 2 ⃝ 4 x−4 y+1 z−2 = = 9 3 2 問２次の直線と点 P との距離 d を求めよ。 y H (1) 直線 x + 1 = − = z − 1 , 点 P (−2 , 1 , 2) 2 −→ Q(−1 , 0 , 1) , ⃗l = (1 , −2 , 1) , QP = (−2 , 1 , 2) − (−1 , 0 , 1) = (−1 , 1 , 1) , d √ −→ −1 − 2 + 1 2 (QP , ⃗l) −2 2 √ cos θ = −→ =√ = √ √ =− √ =− , 3 1+1+1 1+4+1 3 6 3 2 P |QP | · |⃗l| √ √ ( √ ) √ √ √ −→ 9−2 7 7 7 21 sin θ = = , d = |QP | sin θ = 3 · = = 9 3 3 3 3 (1) x−2 = −(y + 1) = z − 2 , 2 −→ Q(2 , −1 , 2) , ⃗l = (2 , −1 , 1) , QP = (3 , −→ (QP , ⃗l) 2−2+2 √ cos θ = −→ =√ = |√ QP | · |⃗l| √ 1 + 4 + 4 4 + 1 + 1 −→ 27 − 2 25 5 sin θ = = = √ , d = |QP | 27 27 3 3 (2) 直線 ⃗l θ −→ QP √ 21 3 点 P (3 , 1 , 4) 1 , 4) − (2 , −1 , 2) √= (1 , 2 , 2) , 2 2 1 2 √ √ = √ = , 3 3 9 6 3 6 √ 5 5 5 3 sin θ = 3 · √ = √ = (2) 3 3 3 3 √ 5 3 3 y−2 x−1 = =z−1 , 点 P (−2 , 3 , −1) 2 3 −→ Q(1 , 2 , 1) , ⃗l = (−2 , 3 , 1) , QP = (−2 , 3 , −1) − (1 , 2 , 1) = (−3 , 1 , −2) , −→ (QP , ⃗l) 6+3−2 7 7 1 √ cos θ = −→ =√ =√ √ = = , 14 2 14 14 |QP | · |⃗l| √ 9 + 1 + 4 4 + 9 + 1 √ √ √ √ −→ 1 3 3 42 sin θ = 1 − = , d = |QP | sin θ = 14 · = (3) 4 2 2 2 √ 42 2 (3) 直線 − Q 問３ ⃝ A 点 P0 を通りベクトル ⃗n に垂直な平面の方程式を求めよ。 ⃗n = 4⃗e1 − 2⃗e2 − 3⃗e3 = (4 , −2 , −3) , P0 (3 , −1 , 0) −−→ −−→ 平面上の任意の点を P (x , y , z) とすると P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) で ⃗n⊥P0 P より −−→ (⃗n , P0 P ) = 0 を計算する 4 · (x − 3) − 2 · (y + 1) − 3 · (z − 0) = 0 より 4x − 2y − 3z − 14 = 0 4x − 2y − 3z + D = 0 に直接点 P0 の値を代入して 12 − 2 · (−1) − 3 · 0 + D = 0 より D = −14 の値を求める方法でも正解。以下同様です。 ⃝ B ⃗n = −3⃗e1 + 4⃗e2 + 5⃗e3 = (−3 , 4 , 5) , ⃝ A 4x − 2y − 3z − 14 = 0 ⃝ B −3x + 4y + 5z + 15 = 0 ⃝ C 4x − 3z − 6 = 0 ⃝ D 2x − 5y + 3z + 7 = 0 P0 (4 , −2 , 1) −3 · (x − 4) + 4 · (y + 2) + 5 · (z − 1) = 0 より − 3x + 4y + 5z + 15 = 0 ⃝ C ⃗n = 4⃗e1 − 3⃗e3 = (4 , 0 , −3) , P0 (3 , 6 , 2) 4 · (x − 3) + 0 · (y − 6) − 3 · (z − 2) = 0 より 4x − 3z − 6 = 0 ⃝ D ⃗n = 2⃗e1 − 5⃗e2 + 3⃗e3 = (2 , −5 , 3) , P0 (3 , 2 , −1) 2 · (x − 3) − 5 · (y − 2) + 3 · (z + 1) = 0 より 2x − 5y + 3z + 7 = 0 問４ (i) 次の３点を通る平面の方程式を求めよ。 (−1 , −2 , 1) , (2 , 3 , 2) , (2 , 2 , 0) 平面の方程式は Ax + By + Cz + D = 0 に３点を代入して平面 A, B, C, D を求める。     A = 3C  −A − 2B + C + D = 0   →  B = −2C  → 3x − 2y + z − 2 = 0 , 2A + 3B + 2C + D = 0   2A + 2B + 0 + D = 0 D = −2C (i) 3x − 2y + z − 2 = 0 (ii) (1 , −3 , 1) , (−2 , 5 , 7) , (−2 , −1 ,    A − 3B + C + D = 0   →  −2A + 5B + 7C + D = 0   −2A − B − 2C + D = 0 −2)  A = −2C  B = − 23 C  D = − 72 C → 4x + 3y − 2z + 7 = 0 , (ii) (iii) (2 , −1 , 3) , (−4 , −4 ,   2A − B + 3C + D =  −4A − 4B − 2C + D =   3A − 6B + 2C + D = −2) , (3 , −6 , 2)   0 A = 2B   →  C = −3B  0 0 D = 5B → 2x + y − 3z + 6 = 0 , (iii) (iv) (0 , 2 , 1) , (8 , −1 , −3) , (3 , 4 , 2)     0 + 2B + C + D = 0 B = −4A    →  C = 5A  8A − B − 3C + D = 0   3A + 4B + 2C + D = 0 D = 3A → 4x + 3y − 2z + 7 = 0 2x + y − 3z + 6 = 0 x − 4y + 5z + 3 = 0 , (iv) x − 4y + 5z + 3 = 0