第7回問題

数学演習 A 問題（解析 1A） No.7
7-1 と 7-2 では x(t) は未知関数，t は独立変数，′ は t についての微分
d
を表す．
dt
————————————————–
7-1. 次の変数分離形の微分方程式を考える．ただし，(i),(ii) では x(t) > 0 としてよいものとする．
(i)
x′ (t) = −2x(t),
(ii) x′ (t) = x(t) 3
2
(iii) x′ (t) = x(t)2 cos t
(1) それぞれの一般解 (任意定数を含む解) を求めよ．(Hint: x(t) を左辺に移して，その結果を積分する．)
(2) それぞれの x(0) = 1 をみたす解を求めよ．
7-2. (1)(i) 1 階線形微分方程式 x′ (t) + x(t) = 0 の一般解 (任意定数を１個含む解) を求めよ．
(ii) f (t) = a sin t + b cos t が f ′ (t) + f (t) = sin t をみたすように定数 a, b を定めよ．
(iii) 1 階線形微分方程式 x′ (t) + x(t) = sin t の一般解を求めよ．
(2)(i) x が x′ (t) + tx(t) = 0 をみたすとき，(eh(t) x(t))′ = 0 をみたす関数 h(t) を１つ求めよ．
(ii) (i) の結果を用いて，x′ (t) + tx(t) = 0 の一般解を求めよ．
7-3. 次の広義積分の値を求めよ．
∫
∞
(1)
xe−2x dx
∫
∞
(2)
0
e
1
dx
x(log x)2
∫
(3)
∞
xe−x dx
0
7-4. f が [0, 1] 上の連続関数のとき，次が成り立つことを示せ．
∫
∫
π
2
(1)
π
2
f (sin x)dx =
0
∫
f (cos x)dx
0
∫
π
(2)
π
2
f (sin x)dx = 2
0
∫
(3)
π
xf (sin x)dx =
0
f (sin x)dx
0
π
2
∫
π
f (sin x)dx
0
2
∫
∞
(4)
1
1
dx
x(1 + x2 )

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