合計点得点 [1] 得点 [2] 得点 [3] 得点 [4] 得点 [5] 整理番号数学 IB：期末試験１枚目（4 枚あります）学生番号得点 [1] 得点 [2] 2014 年 2 月 4 日出題 10:30∼12:00 氏名 [ 1 ] sin z は整函数（C 全体で解析的）であり，定数ではない．ゆえに Liouville の定理によれば，sin z は C で有界ではないはずである（有界ならば定数函数になってしまう）．複素数列 {zn } で， sin zn ! +1 (n ! 1) となるものを一つ例示せよ． [ 2 ] ベキ級数 1 (n !)2 P z n の収束半径を求めよ． n=0 (2n) ! 数学 IB：期末試験２枚目（4 枚あります）氏名得点 [ 3 ] 以下の各問いに答えよ． (1) z = 0 は f (z) := sin z (2) z = 0 は g(z) := z cos z の何位の零点か． z2 e sin z 1 の何位の極か． z cos z (3) (2) の g(z) に対して，Res g(z) を求めよ． z=0 2014 年 2 月 4 日出題 10:30∼12:00 数学 IB：期末試験３枚目（4 枚あります） 2014 年 2 月 4 日出題 10:30∼12:00 氏名得点 [ 4 ] 以下の各問いに答えよ． (1) cos z = 0 をみたす複素数 z をすべて求めよ． p p (2) C を下右図のような積分路とする．すなわち， 2 から出発して，原点を中心とする半径 2 の上半円に p ⇥ p p ⇤ 沿って 2 まで達する路を S ，実軸上の閉区間 2, 2 を J とし，C = S + J とする． Z tan z dz を計算せよ． Im z このとき，積分 1 2⇡i C z 4 + 1 S p 2 O J p 2 Re z 数学 IB：期末試験４枚目（最後のページです） 2014 年 2 月 4 日出題 10:30∼12:00 氏名得点 [ 5 ] 以下の問いに答えよ． (1) 複素平面上の集合 {1 + w ; w 5 1} を図示せよ． (2) ✓ < ⇡ のとき， Arg(1 + ei✓ ) < ⇡ であることを示せ． 2 1 の z = ei✓ （ただし ✓ < ⇡ ）での Taylor 級数を求めよ（分母でうまく z ei✓ を作り出す）． (3) 1+z (4) ✓ < ⇡ とする． 1 の原始函数で，f (ei✓ ) = Log(1 + ei✓ ) をみたすものが f (z) = Log(1 + z) である 1+z ことを用いて，f (z) の z = ei✓ における Taylor 級数を書き下せ．ただし，Log は log の主値である．