ベクトルの微分と積分

3.1 曲線 (space curves)
1
3.1 曲線 (space curves)
z
t
n
b
r
y
図 3.1
接触平面，法平面，展平面
x
✓
接線単位ベクトルと主法線単位ベクトル
t(t) =
r ′ (t)
|r ′ (t)|
を接線単位ベクトル, n(t) =
✏
t′ (t)
|t′ (t)|
を主法線単位ベクトルという．接線単位ベクトル t，主法
線ベクトル n と直交するベクトル B = t × n を従法線単位ベクトル (binormal unit vector) という．
また，
dB
= −τ n
ds
を満たす τ をねじれ率 (torsion) という．
✒
✑
問 3.1 空間曲線 r = a cos ti + a sin tj + btk (a, b 定数で a > 0) の接線単位ベクトル，主法線単位ベクトル，
従法線単位ベクトルを求めよ．
3.2 弧長
✓
✏
孤長
定理 3.1 曲線 r = r(t) が滑らかな曲線のとき， r(a) から r(t) までの弧長 s(t) は
∫
t
|
s(t) =
a
dr
|dt
dt
となる．
✒
✑
問 3.2 r(t) = cos t i + sin t j + t k の 0 ≤ t ≤ 2π の部分の長さを求めなさい．
問 3.3 弧長 s をパラメターとして曲線 r(t) = 5 cos ti + 5 sin t j を表しなさい．
✓
接線単位ベクトル
✏
曲線 C が弧長 s をパラメターとして r(s) で表されているとき，接線ベクトルを求めると
弦の長さ
r(s + ∆s) − r(s)
=
−→ 1
∆s
弧の長さ
よって，接線単位ベクトル t は
t=
✒
dr
.
ds
✑
2
✓
曲率
dt
ds
✏
dt
̸= 0 ならば， ds
は t に垂直．そこで，
κ=|
を曲線 C の曲率という．
より
dt
d2 r
|=| 2|≥0
ds
ds
dt
dt/dt
t′
dt/dt
=
, n= ′ =
ds
ds/dt
|t |
|dt/dt|
|dt/dt|
dt
dt
=n
= n| | = nκ
ds
ds/dt
ds
✒
✓
曲率半径
(3.1)
✑
✏
曲線 C について，κ ̸= 0 であるとき，ρ =
✒
1
κ
を曲率半径という．
✑
問 3.4 曲線 x = a cos t, y = a sin t, z = bt について次のものを求めよ．ただし，a > 0, b は定数である．
(1) t = 0 から t = l までの間の弧長 s = s(t)
(2) 曲率 κ
3.3 点の運動 (motion of objects)
✓
速度・加速度
✏
v(t) = r ′ (t), a(t) = r ′′ (t)
✒
✓
加速度の分解
✑
✏
v = |v| = |r ′ (t)| =
a=
ds
dt
dv
t + v 2 κn = ar t + an n
dt
これが加速度の接線方向と法線方向への分解．つまり
at = (a · t), an = (a · n)
✒
✑
問 3.5
r(t) = cos πti + sin πtj + tk
t = 1 のとき v(t), a(t), v, t, n を求めよ．
✓
Frenet-Serret
✒
✏
dt
dn
dB
= κn,
= −κt + τ B,
= −τ n
ds
ds
ds
✑

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