数学演習 B 問題（解析 1B）略解 No.2 2-1. (1) fx = 2x a2 , fy = 2y b2 (2

数学演習 B 問題（解析 1B）略解 No.2
2x
2y
y 2 − x2
, fy = 2 (2) fx = 3x2 − 9y,
fy = 3y 2 − 9x (3) fx = 2
,
2
a
b
(x + y 2 )2
(4) fx = yexy , fy = xexy (5) fx = aeax cos(by), fy = −beax sin(by)
fx
y fy
(6) log f = y log x より
= ,
= log x．したがって，fx = yxy−1 , fy = xy log x.
f
x f
2-1. (1) fx =
2-2. fx =
x2
fy = −
2xy
(x2 + y 2 )2
2x
2y
, fy = 2
であり，
2
+y
x + y2
fxx + fyy = 2
(x2 + y 2 ) − x · (2x)
(x2 + y 2 ) − y · (2y)
2(−x2 + y 2 ) 2(x2 − y 2 )
+
2
=
+ 2
=0
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x + y 2 )2
2-3. fx = aeax sin(x + y) + eax cos(x + y) より，fxy = (fx )y = aeax cos(x + y) − eax sin(x + y) となる．同様に，
fy = eax cos(x + y) から fyx = (fy )x を計算すると結論を得る．
−x
x
−y
y
2-4. 偏導関数は，fx (x, y) = √
= − , f y(x, y) = √
= − である．
2 − y2
2 − y2
z
z
1
−
x
1
−
x
√
(1) (1, 0, − 2)
(2) (0, 1, −1)
√
(3) 法線ベクトルを (a, b, c) とすると，(1),(2) で得たベクトルと直交するので，a − 2c = 0 かつ b − c = 0 が成
√
り立つ．これから，法線ベクトルとして ( 2, 1, 1) がとれる．(定数倍でもよい．) 接平面上の点の座標を (x, y, z)
√
√ (
) (
)
) (
とすると， 2 x − √12 + y − 12 + z − 12 = 0 が成り立つから，整理して 2x + y + z = 2 となる．
(
)′
(
)′
{
}
2-5. (1) g ′ (t) = eu(t) sin(v(t)) + eu(t) sin(v(t)) = eu(t) sin(v(t))u′ (t) + cos(v(t))v ′ (t) .
(2) fx (x, y) = ex sin y, fy = ex cos y に x = u(t), y = v(t) を代入すればよい．
d
一般に，f (u(t), v(t)) の導関数は f (u(t), v(t)) = fx (u(t), v(t))u′ (t) + fy (u(t), v(t))v ′ (t) となり，連鎖律と呼
dt
ばれる．(合成関数の微分に対する公式だが，応用上重要である．)
2-6. (1)h2 + hk + k 2 = (h + 12 k)2 + 34 k 2 より，(i).
(2)|h| > |k| なら h2 − k 2 > 0，|h| < |k| なら h2 − k 2 < 0，|h| = |k| なら h2 − k 2 = 0 だから，(iii).
(3)h2 + 4hk + k 2 = (h + 2k)2 − 3k 2 より，(iii).
(4)h2 + 2hk = (h + k)2 − k 2 より，(iii).
(5)−2h2 − 6hk − 5k 2 = −2(h + 32 k)2 − 12 k 2 より，(ii).
(6)−2h2 + 6hk − k 2 = −2(h − 32 k)2 + 72 k 2 より，(iii).
(7)−h2 + 4hk − 4k 2 = −(h − 2k)2 で h = 2k のとき 0 だから，(iii).
2-7. (1) 0
(2) 1
(3)
1
2

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