微分積分学および演習Ⅱ 演習問題

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 2
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 2-1. (2 変数関数の偏微分)
以下の 2 変数関数を、変数 x 及び変数 y で偏微分しなさい。
(1) f (x, y) = x2 y + y 2 − x + 3
(4) f (x, y) =
x+y
x−y
(2)
f (x, y) = exy
(3) f (x, y) = sin x cos y
(5)
f (x, y) = Arctan (xy)
(6) f (x, y) = log(x2 − y 2 )
問題 2-2. (接平面の方程式)
以下の 2 変数関数 z = f (x, y) のグラフの、与えられた点における接平面の方程式を求めなさい。
(1)
z = x2 + y 2
点 (2, 1, 5)
(3)
z = ex sin y
点 (0, π, 0)
z = xy
√
(4) z = 4 − x2 − y 2
(5)
z=
点 (2, −1, 1)
(6)
−y
x+y
(2)
z = log(1 − x2 + y)
点 (3, −2, −6)
点 (1, 1,
√
2)
点 (2, 4, 0)
問題 2-3. (偏微分可能性と接平面の存在)∗
2 変数関数


f (x, y) =
x2

0
xy
+ y2
((x, y) ̸= (0, 0) のとき),
((x, y) = (0, 0) のとき)
に関して以下の設問に答えなさい。
(1) 偏微分係数の定義にしたがって fx (0, 0) 及び fy (0, 0) を計算しなさい*1 。
(2) 講義で学習した方法で、点 (0, 0, 0) に於ける z = f (x, y) の「接平面の方程式」を求めなさい。
問題 2-3. (2) で求めた平面は、果たして本当に z = f (x, y) のグラフの点 (0, 0, 0) での接平面
と呼ぶにふさわしいものだろうか?
…… 講義では、実際に z = f (x, y) のグラフと (2) で求めた「接平面」のグラフの関係を観
察し、
「接平面とは何か?」「接平面が存在するとはどういうことか?」について考察します。
*1
つまり fx (0, 0) = lim
∆x→0
ということ。
f (0, ∆y) − f (0, 0)
f (∆x, 0) − f (0, 0)
, fy (0, 0) = lim
をそれぞれ直接計算しなさい、
∆y→0
∆x
∆y

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