年 番号 1 4 次の問いに答えよ. (1) 関数 f(x) = x(x2 ¡ 4x + 3) の極値を求めよ. 氏名 n を自然数とするとき,以下の問いに答えよ. (1) 次の等式を示せ. (2) k を定数とするとき,方程式 x x2 ¡ 4x + 3 = k の異なる実数解の個数を求めよ. n+2 C3 + n+2 C2 = n+3 C3 ( 弘前大学 2016 ) (2) (1) の結果を利用して,数学的帰納法により,次の等式を証明せよ. n P i=1 2 i+1 C2 = n+2 C3 f(x) = x2 ¡ 3x とする.次の問いに答えよ. ( 会津大学 2015 ) (1) ¡3 5 x 5 3 における f(x) の最大値と最小値を求めよ. (2) 点 (3; ¡4) から放物線 y = f(x) に引いた接線の方程式を求めよ. (3) 放物線 y = f(x) と (2) の接線で囲まれた図形の面積を求めよ. ( 秋田大学 2016 ) 5 2 つの袋 A,B がある.袋 A には白玉が 2 つと,赤玉,青玉,黒玉が 1 つずつ,合計 5 つの玉が 入っている.袋 B には白玉と赤玉が 1 つずつ,青玉が 3 つの合計 5 つの玉が入っている.この とき,以下の問いに答えよ. 3 B 1 1 = 2 を満たす数とし,An = tn + n ( n は自然数)とするとき,次の問いに答え t t なさい. tを t+ (1) A2 ; A3 ; A4 の値を求めなさい. (1) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき,同じ色になる確率を求めよ. (2) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき,異なる色になる確率を求めよ. (3) 袋 A からは 1 つ,袋 B からは 3 つ同時に玉を取り出すとき,その 4 つの玉の色が 2 色以上にな る確率を求めよ. (2) n = 2 のとき,An+1 を An ; An¡1 を用いて表しなさい. (4) 袋 A から 2 つ同時に玉を取り出し,袋 B からも 2 つ同時に玉を取り出すとき,その 4 つの玉の (3) n = 3 のとき,An+2 を An¡2 を用いて表しなさい. 色がすべて異なる確率を求めよ. (4) An のとりうる値をすべて求めなさい. ( 会津大学 2014 ) ( 福島大学 2016 ) 6 4ABC の外接円の中心を O とし ,半径を 1 とする.辺 BC の中点を P,辺 AB を 1 : 2 に内分 する点を Q とするとき,次の問いに答えよ. 2 点を共有しているとき,以下の問いに答えよ. ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ (1) OA = a ,OB = b ,OC = c とおくとき,PQ を a , b , c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! (2) (1) における PQ は, a + b と平行で向きが同じとする.jPQj : j a + b j = s : 1 とすると ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! き, a ¢ c と b ¢ c を,それぞれ a ¢ b と s を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! 1 (3) (2) において,さらに s = であるとき, a ¢ b の値を求めよ. 6 ( 宇都宮大学 2015 ) 7 n は整数の定数とし,P(x) = x(x + 1)(x + 5) とする.次の問いに答えよ. (1) x についての 3 次方程式 P(x) = P(1) を解け. (2) x についての 3 次方程式 P(x) = P(n) が異なる 3 つの実数解をもつとき,n の値を求めよ. ( 富山県立大学 2014 ) 8 点 P は正三角形 ABC の辺に沿って頂点を移動できる.このとき,次の操作を考える. ( 操作)2 枚の硬貨を同時に投げる.表が 2 枚出れば,点 P は時計回りに隣の頂点に動く. 表が 1 枚だけ出れば,点 P は反時計回りに隣の頂点に動く.表が出なければ,点 P は動か ない. この操作を続けて行うとき,次の問いに答えよ.ただし,点 P ははじめに頂点 A にあるとする. (1) 2 回目の操作終了時に,点 P が頂点 A にある確率を求めよ. (2) 4 回目の操作終了時に,点 P が頂点 A にある確率を求めよ. ( 信州大学 2015 ) 9 10 a を正の定数とする.曲線 y = x3 ¡ ax を C とし,直線 y = b を ` とする.C と ` がちょうど 2 数列 fan g を a1 = 2; an+1 = an 26n (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.次の問いに答えよ. (1) bn = log2 an とし,fbn g の一般項を求めよ. (2) 数列 fan g の一般項を求めよ. (3) a10 の桁数を求めよ.ただし log10 2 = 0:3010 とする. ( 静岡大学 2011 ) (1) b を a で表せ. (2) a = 3 で b が正のとき,C と ` で囲まれる部分の面積を求めよ. ( 三重大学 2016 )
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