µ は 0 ≦ µ

1 （新課程履修者）複素数平面上に原点 O(0) と点
p
A(1 + 3i) がある．ただし，i を虚数単位とす
る．このとき，次の問に答えよ．
p
3 （選択）i = ¡1 とし，z は z の共役複素数を
表すとする．次の問いに答えよ．
p
(1) 複素数 z = 2 + i に対して，複素数 z1 =
p
(1 + 3i)z の値を求めよ．
µ は 0 5 µ < 2¼ とする．
(2) 実数 k と複素数 z = 1 + ti（ t は実数）に対
(1) 複素数 1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角
(2) 点 A を原点のまわりに ¡
¼
だけ回転した点を
3
して，次の等式が成立する k; t の組をすべて求
めよ．
表す複素数を求めよ．
(3) 虚軸上の点 B(z) が OB = AB を満たすとき，
B
(1 + 3i)z = kz
複素数 z を求めよ．
(4) (3) で求めた B(z) に対して，3 点 O，A，B を
(3) 複素数 w1 に対し，複素数 w2 ; w3 を
通る円の中心を表す複素数を求めよ．
B
w2 = (1 + 3i)w1 ;
B
w3 = (1 + 3i)w2
（香川大学 2015 ）
によって定める．w3 を w1 を用いて表せ．
(4) 上の (1) で求めた z1 に対して，複素数 zn (n =
2; 3; Ý) を
2 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で
B
zn+1 = (1 + 3i)zn
等式
z ¡ ia =
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．z2m¡1 (m = 1; 2; 3; Ý) を
z¡z
2i
m を用いて表せ．
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただ
（同志社大学 2015 ）
し，i は虚数単位で，z は z と共役な複素数を
4
表す．
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y =
f(x) の形で表せ．
次の (1); (2) から 1 題を選択し解答せよ．
i
1
¡1 =
¡ k を満たすすべての
z
z
複素数 z に対して不等式 z 5 2 が成り立つよ
(1) 等式
うな実数 k の値の範囲を求めよ．
(2) C 上の点 z で
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
(2) 実数 k と 2 次の正方行列 A は A2 ¡ kA + 3E =
O を満たすとする．また，座標平面上で A の表
す移動によって，点 (1; 1) は点 (3; 3) へ移り，
を満たすものを求めよ．
（学習院大学 2015 ）
直線 y = ¡x 上の点は同じ直線上の点に移ると
する．このとき，A を求めよ．ただし，E は単
位行列，O は零行列を表す．
（東京学芸大学 2015 ）
5
複素数 ® は実数でも純虚数でもないとする．
®
が実数であるために ® の満たすべき必
1 + ®2
要十分条件を求めよ．
（奈良県立医科大学 2015 ）
6
次の各問いに答えよ．ただし，i は虚数単位と
する．
(1) 方程式 z4 = ¡1 を解け．
(2) ® を方程式 z4 = ¡1 の解の一つとする．複素
p
数平面に点 ¯ があって z ¡ ¯ = 2 z ¡ ® を
満たす点 z 全体が原点を中心とする円 C を描く
とき，複素数 ¯ を ® で表せ．
(3) 点 z が (2) の円 C 上を動くとき，点 i と z を結
ぶ線分の中点 w はどのような図形を描くか．
（鹿児島大学 2015 ）
7
® を実数でない複素数とし，¯ を正の実数とす
る．以下の問いに答えよ．ただし，複素数 w に
対してその共役複素数を w で表す．
(1) 複素数平面上で，関係式 ®z + ®z = z
2
を満
たす複素数 z の描く図形を C とする．このとき，
C は原点を通る円であることを示せ．
(2) 複素数平面上で，(z ¡ ®)(¯ ¡ ®) が純虚数とな
る複素数 z の描く図形を L とする．L は (1) で
定めた C と 2 つの共有点をもつことを示せ．ま
た，その 2 点を P，Q とするとき，線分 PQ の長
さを ® と ® を用いて表せ．
(3) ¯ の表す複素数平面上の点を R とする．(2) で
定めた点 P，Q と点 R を頂点とする三角形が正
三角形であるとき，¯ を ® と ® を用いて表せ．
（筑波大学 2015 ）

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