複素解析 I 演習 (第1回) 2014 年 4 月 11 日 1

複素解析 I 演習
(第１回)
2014 年 4 月 11 日
1-1 次の複素数の値を計算せよ．ただし答は a + bi (a, b は実数) の形で与えよ．
(1) (2 − i)(3 + 4i)
(2) (4 + 3i)(4 − 3i) (3) (1 − i)3
(4)
1 + 2i
2 + 3i
(5)
2+i 2−i
+
2−i 2+i
√
1+i
3−i
1-2 (1) √ ,
, −1 + i を極形式で表せ．
2
2
(2) (1) の結果を用いて，次の複素数の値を計算せよ．ただし答は a + bi (a, b は実数) の形で与
えよ．
( 1 + i )4 ( √ 3 − i )6
√
,
, (−1 + i)7
2
2
1-3 複素数の極形式，ド・モアブルの公式を用いて，次の (1),(2) を解け．
√
−1 + 3i
(1) z 2 =
(2) z 4 = −1
2
1-4 複素数 α = a + bi (a, b ∈ R) の複素共役 α を α = a − bi で定義する．
(1) 複素数 α, β に対して α + β = α + β, αβ = αβ が成り立つことを示せ．また，α が実数で
あるための必要十分条件は α = α であることを示せ．
(2) 実数 a1 , . . . , am を係数とする m 次方程式
z m + a1 z m−1 + · · · + am−1 z + am = 0
において，z = γ が解ならば z = γ も解であることを証明せよ．
1-5 複素関数 (複素数に複素数を対応させる関数) f (z) (z = x + yi) の実数部分，虚数部分を
u(x, y), v(x, y) とする：f (x + iy) = u(x, y) + v(x, y)i. ただし，u, v は実数値関数．
f (z) = z 3 の場合に次の (1),(2),(3) に答えよ．
(1) u(x, y), v(x, y) を求めよ．
(2) ux , uy , vx , vy を計算し，ux = vy , uy = −vx が成り立つことを確かめよ．
(3) uxx + uyy = 0, vxx + vyy = 0 が成り立つことを確かめよ．
1-6 複素数 α = a + bi, β = c + di (a, b, c, d ∈ R) に対して次を証明せよ：
αβ = 0
⇐⇒
1-7 z ∈ C に対して，w =
α=0
または
β = 0.
−z + i
とおく．
z+i
(1) z = x + yi (x, y ∈ R) の虚部 y が正であれば，|w| < 1 が成り立つことを示せ．
(2) z が実軸を動くとき，w の軌跡はどういう図形を描くか．

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