演習問題 2 & 3 解答

基礎数学 2 演習問題 (担当: 谷戸光昭, http://yato.main.jp/lecture meisei/)
2. 空間内のベクトルとその演算
−→
−→
−→
問 1. 下の直方体において, a = AB, b = AD, c = AE とするとき, 次のベクトルを a, b, c のスカラー倍・和・差で表せ.
−→
−→
−→
−→
−→
(1) AC (2) AG (3) BD (4) DF (5) EC
G
H
F
E
C
D
B
A
−→
−→
−−→
問 2. 空間内に異なる 3 点 O, A, B があり, a = OA, b = OB とする. 線分 AB を 1 : 2 に内分した点を M とするとき, OM
を a, b のスカラー倍・和・差で表せ.
 
a1
√
問 3. 成分表示された空間内のベクトル a = a2  に対し, その長さ |a| が a21 + a22 + a23 となる理由を述べよ. (図, 数
a3
式, 文章などを適切に用いて説明 (証明) せよ)
 
 
3
−1
問 4. 成分表示されたベクトル a =  2 , b = −6 に対し, 以下を求めよ.
5
−3
3
1
(1) −3a (2) a + b (3) a − b (4) 内積 (a, b) (5) 大きさ |a| (6) 大きさ |b|
2
2
 
 
−1
t
問 5. 成分表示されたベクトル a =  1 , b =  1  に対し, 以下の問いに答えよ. ただし, t は定数である.
2
−1
(1) |a| を求めよ. (2) |b| を t を使って表せ. (3) 内積 (a, b) を t を使って表せ. (4) a と b が直交していると
き, 定数 t はいくつか. (5) a と b のなす角が 2π
3 であるとき, 定数 t はいくつか.
3. 空間内の直線と平面の方程式
問 1. 次の直線 ℓ の方程式を, 媒介変数 t を使って表せ. また, 使わないで表せ.
 
5
(1) 点 P0 (1, 3, 2) を通りベクトル v =  4  に平行な直線 ℓ (2) 2 点 P0 (3, 1, 2), P1 (5, −5, 3) を通る直線 ℓ
−3
(3) 点 P0 (−1, 4, 7) 通り平面 H: 8x − y + 2z = 9 に直交する直線 ℓ


 x = 3 + 2t
問 2. 空間内の直線 ℓ :
y = 1 − 3t (t は媒介変数) について以下の問いに答えよ.


z = −2 + t
(1) t = 0, 1, −2 のときの ℓ 上の点 (x, y, z) をそれぞれ求めよ.
(2) ℓ 上の点 (9, −8, 1) は t がいくつのときの点か.
(3) 次の点 A, B, C が直線 ℓ 上の点かどうかを判定せよ. 理由も記せ. A(0, 0, 0), B(1, 4, −3), C(3, 1, 4).
(4) 点 (11, a, b) は直線 ℓ 上の点であるという. 定数 a, b の値を求めよ.
(5) 平面 H: 3x + y + z = 4 と直線 ℓ との交点 P(x, y, z) を求めよ.
 
1
問 3. 点 P0 (4, −3, 2) を通りベクトル v =  3  に直交する平面 H の方程式を求めよ.
−5
問 4. 次の 3 点 A, B, C を通る平面の方程式 ax + by + cz = d を求めよ. ただし, 係数はすべて整数で表すこと.
(1) A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4)
(2) A(1, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 1)
(3) A(0, 0, 1), B(1, 1, −1), C(2, 5, −2)
「2. 空間内のベクトルとその演算」の不親切な解答
問 1. (1) a + b
(2) a + b + c
(3) b − a
−→ −→ −→
(4) DF = AF − AD = a + c − b
−→ −→ −→
(5) EC = AC − AE = a + b − c
−−→ −→ −−→ −→
−→ −→
−→ −→
−→
−→
問 2. OM = OA + AM = OA + 13 AB = OA + 13 (OB − OA) = 23 OA + 13 OB = 23 a + 13 b
問 3. 授業中に説明したので省略.
 
 
 
3
2
−3
問 4. (1) −6 (2) −4 (3)  6 
9
2
−7
√
√
(6) |b| = 9 + 36 + 25 = 70
問 5. (1)
√
6
(2)
√
t2 + 2
(3) −t − 1
(4) (a, b) = −3−12−15 = −30
(4) t = −1
(5) |a| =
√
√
(−1)2 + 22 + (−3)2 = 14
(5) t = 2
「3. 空間内の直線と平面の方程式」の不親切な解答


x = 1 + 5t
x−1
y−3
z−2
問 1. (1) ℓ : y = 3 + 4t (t は媒介変数) ,
=
=

5
4
−3

z = 2 − 3t


x = 3 + 2t
y−1
z−2
x−3
(2) ℓ : y = 1 − 6t (t は媒介変数) ,
=
=

2
−6
1

z =2+t


x = −1 + 8t
x+1
y−4
z−7
(3) ℓ : y = 4 − t (t は媒介変数) ,
=
=

8
−1
2

z = 7 + 2t
問 2. (1) それぞれ (3, 1, −2), (5, −2 − 1), (−1, 7, −4)
(2) t = 3
(3) 点 B のみ ℓ 上の点 (t = −1 のときの点).
{
11 = 3 + 2t
a = 1 − 3t
b = −2 + t
(4)
の第 1 式より t = 4. これを第 2 式と第 3 式に代入すると, a = −11, b = 2.
(5) 3x + y + z = 4 に ℓ の式を代入すると, 3(3 + 2t) + (1 − 3t) + (−2 + t) = 4. 左辺を整理して, 8 + 4t = 4.
これを解くと, t = −1. このとき, (x, y, z) = (1, 4, −3). これが交点 P の座標である.
問 3. x + 3y − 5z + 15 = 0
{
問 4. (1)
{
(2)
{
(3)
2a = d
3b = d
4c = d
{
より
a+b=d
a+c=d
b+c=d
a = d/2
b = d/3
c = d/4
となる. よって,
d
2x
+ d3 y + d4 z = d. 両辺に
より a = b = c = d/2 となる. よって,
c=d
a+b−c=d
より
2a + 5b − 2c = d
{
d
2x
a = 7d/3
b = −d/3 となる. よって,
c=d
12
d
を掛けて, 6x + 4y + 3z = 12.
+ d2 y + d2 z = d. 両辺に
d
7d
3 x − 3 y + dz
2
d
= d. 両辺に
を掛けて, x + y + z = 2.
3
d
を掛けて, 7x − y + 3z = 3.

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