a ，¡! (1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
正六角形 ABCDEF において，辺 BC の中点を G，辺 DE を t : (1 ¡ t) に内分する点を H とす
¡! ¡
! ¡! ¡
!
る．ただし，0 < t < 1 である．AB = a ，AF = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡!
¡
! ¡
!
(1) AC，AG，AH を t; a ; b を用いて表せ．
4
氏名
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
鋭角三角形 ABC の重心を G とする．また，GA = a ，GB = b ，GC = c とおくとき
¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
2 a ¢ b + b ¢ c + c ¢ a = ¡9
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
a ¢ b ¡ b ¢ c + 2 c ¢ a = ¡3
(2) 直線 CF と直線 GH の交点を I とするとき，GI : IH を求めよ．
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(3) さらに，直線 AI と直線 CD の交点を J とする．点 J が線分 CD を 1 : 2 に内分するとき，t の
値を求めよ．
（和歌山大学 2015 ）
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) a + b + c = 0 を示せ．
¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
(2) ベクトル a ; b の大きさ j a j，j b j を求めよ．
¡
! ¡
!
(3) a ¢ b = ¡2 のとき，4ABC の 3 辺 AB，BC，CA の長さを求めよ．
2
4ABC の外接円の中心を O とし，半径を 1 とする．辺 BC の中点を P，辺 AB を 1 : 2 に内分
する点を Q とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，PQ を a ， b ， c を用いて表せ．
¡!
¡
! ¡
!
¡!
¡
! ¡
!
(2) (1) における PQ は， a + b と平行で向きが同じとする．jPQj : j a + b j = s : 1 とすると
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
き， a ¢ c と b ¢ c を，それぞれ a ¢ b と s を用いて表せ．
¡
! ¡
!
1
(3) (2) において，さらに s =
であるとき， a ¢ b の値を求めよ．
6
（宇都宮大学 2015 ）
3
¡!
4OAB において，辺 AB の中点を C，辺 AB を 1 : 3 に内分する点を D とする．jOCj = 2，
¡!
jODj = 2，ÎCOD = 60± とするとき，次の空所を埋めよ．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
¡!
(1) OC; OD を，OA; OB を用いて表すと，OC = ア OA +
¡!
エ OB である．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
¡!
(2) OA; OB を，OC; OD を用いて表すと，OA = オ OC +
¡!
ク OD である．
¡!
¡!
(3) jOAj = ケであり，jOBj = コである．
(4) 4OAB の面積は
サ
イ
¡! ¡!
OB，OD =
ウ
¡!
OA +
カ
¡! ¡!
OD，OB =
キ
¡!
OC +
である．
（大阪工業大学 2015 ）
（岩手大学 2014 ）
5
4OAB において，OA = 1，OB = 2，ÎAOB = µ とする．ÎAOB の二等分線と辺 AB との
交点を C とする．次の
にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，
ク
∼
6
サ
¡! ¡! ¡!
(1) OC を OA と OB を用いて表すと，
ア
¡!
OA +
イ
を満たす動点 P がある．このとき，次の問いに答えよ．
¡!
(1) 辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき，jADj を求めよ．
¡!
(2) jAPj の最大値を求めよ．
¡!
OB
となる．
¡! ¡! ¡!
(2) 直線 OC 上に点 P をとり，さらに点 P が辺 AB の垂直二等分線上にあるとき，OP を OA，OB
(3) 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ．
（旭川医科大学 2014 ）
および cos µ を用いて表すと，
¡!
OP =
ウ
¡!
OA +
エ
2
¼ である 4ABC と，
3
¡!
¡
! ¡
!
j2AP ¡ 2BP ¡ CPj = a
には整数を記入しなさい．
¡!
OC =
a を正の定数とする．AB = a，AC = 2a，ÎBAC =
¡!
OB
となる．このとき，OC : CP = 3 : 1 となるならば，cos µ =
オ
である．
(3) 辺 OB 上に点 D を OD : DB = 1 : 3 となるようにとる．線分 AD と線分 OC の交点を Q とし，
¡! ¡! ¡!
OQ を OA と OB を用いて表すと，
¡!
OQ =
カ
¡!
OA +
キ
¡!
OB
7
三角形 ABC において AB = 4，BC = 3，CA = 2 とする．この三角形の辺 AB，BC，CA 上に，
それぞれ点 D，E，F を，四角形 DECF が平行四辺形となるように定める．CE = x，CF = y
となる．このとき，4OAQ，4QAC，4OQD および四角形 QCBD の面積をそれぞれ，
S1 ; S2 ; S3 ; S4 とすると，S1 : S2 : S3 : S4 =
ク
:
ケ
:
コ
:
サ
と
なる．
（京都薬科大学 2014 ）
とおくとき，以下の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) CA と CB の内積を計算せよ．
¡! ¡! ¡!
(2) CD を CA，CB と x; y を用いて表せ．次に，点 D が辺 AB 上にあることを用いて，y を x の
式で表せ．
¡! ¡! ¡!
¡!
(3) x = y のとき，CD を CA と CB を用いて表せ．また，CD の長さを求めよ．
（三重大学 2014 ）
8
三角形 ABC の各辺 AB，BC，CA を 1 : 2 に内分する点をそれぞれ P，Q，R とする．AQ と
¡! ¡
! ¡! ¡
!
CP の交点を S，BR と AQ の交点を T，CP と BR の交点を U とする．AB = b ，AC = c と
するとき，次の問に答えよ．
! ¡
!
¡¡! ¡¡! ¡
¡¡!
(1) OX1 と P1 Q1 を a ; b を用いて表すと，OX1 =
I
¡¡!
，P1 Q1 =
J
である．
(2) 線分 AXn の長さを n を用いて表すと，AXn =
K
である．
¡
! ¡
!
¡¡!
(3) Pn Qn は n; a ; b を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4) 線分 Pn Qn の長さに関する不等式
0:666666 < Pn Qn
を満たす最小の自然数 n は
である．ただし，log2 10 = 3:3219 とする．
L
（大阪薬科大学 2014 ）
¡! ¡
! ¡
!
(1) AQ を b ; c を用いて表せ．
(2)
(3)
(4)
(5)
¡! ¡
!
点 Q を通り辺 AC と平行な直線と，BR の交点を V とするとき，VQ を c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
AT を b ; c を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
AS を b ; c を用いて表せ．
p
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
j b j = 1，j c j = 3，ÎBAC = 90± であるとき，jSTj，jSUj，ÎTSU および三角形 STU の
面積を求めよ．
（山形大学 2014 ）
¼
，OA = 2，OB = 3 であるような三角形 OAB がある．辺 AB の中点
2
を M とする．三角形 ABP が正三角形になるように，直線 AB に関して点 O の反対側に点 P を
10 平面上に，ÎAOB =
とる．このとき，
13
¡!
(1) OM =
15
¡!
OA +
14
16
¡!
OB である．
(2) 点 O から辺 AB に垂線を下ろし，辺 AB との交点を H とすると，
17
¡!
OH =
18
19
¡!
OA +
20
21
22
¡!
OB
である．
C
(3) MP =
9
次の問いに答えなさい．
¡!
¡
! ¡!
¡
!
辺 AB の長さが 1 の 4OAB について，OA = a ，OB = b で表す．n を自然数とする．辺
AB の中点を M とし，線分 AM の中点を X1 ，線分 AX1 の中点を X2 ，Ý，線分 AXn の中点を
Xn+1 ，Ý とする．また，4OAX1 の重心を P1 ，4OAX2 の重心を P2 ，Ý，4OAXn の重心を
Pn ，Ý とする．同様に線分 BM の中点を Y1 ，線分 BY1 の中点を Y2 ，Ý，線分 BYn の中点を
Yn+1 ，Ý とし，4OBY1 の重心を Q1 ，4OBY2 の重心を Q2 ，Ý，4OBYn の重心を Qn ，Ý と
する．
¡!
MP =
23
24
¡! ¡!
で，MP と OH とが平行であることに注意すると，
25
26
C
28
27
C
¡!
OA +
29
30
¡!
OB
である．
（青山学院大学 2014 ）

Download Report