年 番号 1 正六角形 ABCDEF において,辺 BC の中点を G,辺 DE を t : (1 ¡ t) に内分する点を H とす ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! る.ただし,0 < t < 1 である.AB = a ,AF = b とするとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡! ¡! ¡ ! ¡ ! (1) AC,AG,AH を t; a ; b を用いて表せ. 4 氏名 ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 鋭角三角形 ABC の重心を G とする.また,GA = a ,GB = b ,GC = c とおくとき ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! 2 a ¢ b + b ¢ c + c ¢ a = ¡9 ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! a ¢ b ¡ b ¢ c + 2 c ¢ a = ¡3 (2) 直線 CF と直線 GH の交点を I とするとき,GI : IH を求めよ. を満たしているものとする.このとき,次の問いに答えよ. (3) さらに,直線 AI と直線 CD の交点を J とする.点 J が線分 CD を 1 : 2 に内分するとき,t の 値を求めよ. ( 和歌山大学 2015 ) ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) a + b + c = 0 を示せ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (2) ベクトル a ; b の大きさ j a j,j b j を求めよ. ¡ ! ¡ ! (3) a ¢ b = ¡2 のとき,4ABC の 3 辺 AB,BC,CA の長さを求めよ. 2 4ABC の外接円の中心を O とし ,半径を 1 とする.辺 BC の中点を P,辺 AB を 1 : 2 に内分 する点を Q とするとき,次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OA = a ,OB = b ,OC = c とおくとき,PQ を a , b , c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! (2) (1) における PQ は, a + b と平行で向きが同じとする.jPQj : j a + b j = s : 1 とすると ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! き, a ¢ c と b ¢ c を,それぞれ a ¢ b と s を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! 1 (3) (2) において,さらに s = であるとき, a ¢ b の値を求めよ. 6 ( 宇都宮大学 2015 ) 3 ¡! 4OAB において,辺 AB の中点を C,辺 AB を 1 : 3 に内分する点を D とする.jOCj = 2, ¡! jODj = 2,ÎCOD = 60± とするとき,次の空所を埋めよ. ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! (1) OC; OD を,OA; OB を用いて表すと,OC = ア OA + ¡! エ OB である. ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! (2) OA; OB を,OC; OD を用いて表すと,OA = オ OC + ¡! ク OD である. ¡! ¡! (3) jOAj = ケ であり,jOBj = コ である. (4) 4OAB の面積は サ イ ¡! ¡! OB,OD = ウ ¡! OA + カ ¡! ¡! OD,OB = キ ¡! OC + である. ( 大阪工業大学 2015 ) ( 岩手大学 2014 ) 5 4OAB において,OA = 1,OB = 2,ÎAOB = µ とする.ÎAOB の二等分線と辺 AB との 交点を C とする.次の にあてはまる数または式を記入せよ.ただし, ク ∼ 6 サ ¡! ¡! ¡! (1) OC を OA と OB を用いて表すと, ア ¡! OA + イ を満たす動点 P がある.このとき,次の問いに答えよ. ¡! (1) 辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき,jADj を求めよ. ¡! (2) jAPj の最大値を求めよ. ¡! OB となる. ¡! ¡! ¡! (2) 直線 OC 上に点 P をとり,さらに点 P が辺 AB の垂直二等分線上にあるとき,OP を OA,OB (3) 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ. ( 旭川医科大学 2014 ) および cos µ を用いて表すと, ¡! OP = ウ ¡! OA + エ 2 ¼ である 4ABC と, 3 ¡! ¡ ! ¡ ! j2AP ¡ 2BP ¡ CPj = a には整数を記入しなさい. ¡! OC = a を正の定数とする.AB = a,AC = 2a,ÎBAC = ¡! OB となる.このとき,OC : CP = 3 : 1 となるならば,cos µ = オ である. (3) 辺 OB 上に点 D を OD : DB = 1 : 3 となるようにとる.線分 AD と線分 OC の交点を Q とし, ¡! ¡! ¡! OQ を OA と OB を用いて表すと, ¡! OQ = カ ¡! OA + キ ¡! OB 7 三角形 ABC において AB = 4,BC = 3,CA = 2 とする.この三角形の辺 AB,BC,CA 上に, それぞれ点 D,E,F を,四角形 DECF が平行四辺形となるように定める.CE = x,CF = y と な る .こ の と き ,4OAQ,4QAC,4OQD お よび 四 角 形 QCBD の 面 積を それ ぞ れ , S1 ; S2 ; S3 ; S4 とすると,S1 : S2 : S3 : S4 = ク : ケ : コ : サ と なる. ( 京都薬科大学 2014 ) とおくとき,以下の問いに答えよ. ¡! ¡! (1) CA と CB の内積を計算せよ. ¡! ¡! ¡! (2) CD を CA,CB と x; y を用いて表せ.次に,点 D が辺 AB 上にあることを用いて,y を x の 式で表せ. ¡! ¡! ¡! ¡! (3) x = y のとき,CD を CA と CB を用いて表せ.また,CD の長さを求めよ. ( 三重大学 2014 ) 8 三角形 ABC の各辺 AB,BC,CA を 1 : 2 に内分する点をそれぞれ P,Q,R とする.AQ と ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! CP の交点を S,BR と AQ の交点を T,CP と BR の交点を U とする.AB = b ,AC = c と するとき,次の問に答えよ. ! ¡ ! ¡¡! ¡¡! ¡ ¡¡! (1) OX1 と P1 Q1 を a ; b を用いて表すと,OX1 = I ¡¡! ,P1 Q1 = J である. (2) 線分 AXn の長さを n を用いて表すと,AXn = K である. ¡ ! ¡ ! ¡¡! (3) Pn Qn は n; a ; b を用いてどのように表されるかを求めなさい. (4) 線分 Pn Qn の長さに関する不等式 0:666666 < Pn Qn を満たす最小の自然数 n は である.ただし,log2 10 = 3:3219 とする. L ( 大阪薬科大学 2014 ) ¡! ¡ ! ¡ ! (1) AQ を b ; c を用いて表せ. (2) (3) (4) (5) ¡! ¡ ! 点 Q を通り辺 AC と平行な直線と,BR の交点を V とするとき,VQ を c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! AT を b ; c を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! AS を b ; c を用いて表せ. p ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! j b j = 1,j c j = 3,ÎBAC = 90± であるとき,jSTj,jSUj,ÎTSU および三角形 STU の 面積を求めよ. ( 山形大学 2014 ) ¼ ,OA = 2,OB = 3 であるような三角形 OAB がある.辺 AB の中点 2 を M とする.三角形 ABP が正三角形になるように,直線 AB に関して点 O の反対側に点 P を 10 平面上に,ÎAOB = とる.このとき, 13 ¡! (1) OM = 15 ¡! OA + 14 16 ¡! OB である. (2) 点 O から辺 AB に垂線を下ろし,辺 AB との交点を H とすると, 17 ¡! OH = 18 19 ¡! OA + 20 21 22 ¡! OB である. C (3) MP = 9 次の問いに答えなさい. ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 辺 AB の長さが 1 の 4OAB について,OA = a ,OB = b で表す.n を自然数とする.辺 AB の中点を M とし,線分 AM の中点を X1 ,線分 AX1 の中点を X2 ,Ý,線分 AXn の中点を Xn+1 ,Ý とする.また,4OAX1 の重心を P1 ,4OAX2 の重心を P2 ,Ý,4OAXn の重心を Pn ,Ý とする.同様に線分 BM の中点を Y1 ,線分 BY1 の中点を Y2 ,Ý,線分 BYn の中点を Yn+1 ,Ý とし,4OBY1 の重心を Q1 ,4OBY2 の重心を Q2 ,Ý,4OBYn の重心を Qn ,Ý と する. ¡! MP = 23 24 ¡! ¡! で,MP と OH とが平行であることに注意すると, 25 26 C 28 27 C ¡! OA + 29 30 ¡! OB である. ( 青山学院大学 2014 )
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