1 三角形 ABC の外心を O，重心を G，内心を I とする． ¡! 1 ¡! (1) OG = OA が成り立つならば，三角形 ABC は直角三角形であることを証明せよ． 3 ¡! ¡! 1 (2) k が k Ë を満たす実数で，OG = kOA が成り立つならば，三角形 ABC は二等辺三角形であること 3 を証明せよ． ¡ ! ¡! (3) OI ¢ BC = 0 が成り立つならば，三角形 ABC は二等辺三角形であることを証明せよ． （ 千葉大学 2011 ） 2 放物線 y = x2 と直線 y = ax + b によって囲まれる領域を D = f(x; y) j x2 5 y 5 ax + bg とし，D の面積が 9 であるとする．座標平面上で，x 座標，y 座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ． 2 (1) a = 0 のとき，D に含まれる格子点の個数を求めよ． (2) a; b が共に整数であるとき，D に含まれる格子点の個数は，a; b の値によらず一定であることを示せ． （ 千葉大学 2010 ） 3 数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． （ 規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に 1 移動し，出た目が偶数の場合は，負の 方向に 1 移動する． k 回の試行の後の，点の座標を X(k) とする． (1) X(10) = 0 である確率を求めよ． (2) X(1) Ë 0; X(2) Ë 0; Ý; X(5) Ë 0 であって，かつ，X(6) = 0 となる確率を求めよ． (3) X(1) Ë 0; X(2) Ë 0; Ý; X(9) Ë 0 であって，かつ，X(10) = 0 となる確率を求めよ． （ 千葉大学 2010 ） 4 ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 4ABC は，1 辺の長さが 1 の正三角形で，t は正の実数とする． b = AB， c = AC とおく．直線 AB; AC ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 上にそれぞれ点 D; E があり，AD = t b ，AE = t c をみたしている．正三角形 4ADE の重心を G，線 分 BE の中点を M とする． ¡! ¡! (1) 内積 MC ¢ MG を計算せよ． (2) t が正の実数全体を動くとき，4CGM の面積を最小にする t の値と，そのときの面積を求めよ． （ 千葉大学 2010 ） 5 1 から 9 までの番号をつけた 9 枚のカードがある．このなかから無作為に 4 枚のカード を同時に取り出し， カードに書かれた 4 つの番号の積を X とおく． (1) X が 5 の倍数になる確率を求めよ． (2) X が 12 の倍数になる確率を求めよ． (3) X が平方数になる確率を求めよ．ただし ，X が平方数であるとは，ある自然数 n を用いて X = n 2 と表 されることである． （ 千葉大学 2009 ） 6 平面上の 4ABC において，辺 AB を 4 : 3 に内分する点を D，辺 BC を 1 : 2 に内分する点を E とし，線分 AE と CD の交点を O とする． ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! (1) AB = p ; AC = q とするとき，ベクトル AO を p ; q で表せ． (2) 点 O が 4ABC の外接円の中心になるとき，3 辺 AB，BC，CA の長さの 2 乗の比を求めよ． （ 千葉大学 2008 ） 7 1 から n までの番号が書かれた n 枚のカードがある．この n 枚のカード の中から 1 枚を取り出し ，その番 号を記録してからもとに戻す．この操作を 3 回繰り返す．記録した 3 個の番号が 3 つとも異なる場合には 大きい方から 2 番目の値を X とする．2 つが一致し，1 つがこれと異なる場合には，2 つの同じ値を X と し，3 つとも同じならその値を X とする． (1) 確率 P(X 5 k) (k = 1; 2; Ý; n) を求めよ． (2) 確率 P(X = k) (k = 1; 2; Ý; n) を求めよ． (3) P(X = k) が最大となる k の値はいくつか． （ 千葉大学 2008 ） 8 連立不等式 x + y 5 3，x + y = ¡1，y 5 3x + 3，y = 3x ¡ 1 の表す領域を D とするとき，次の問に答 えよ． (1) 領域 D を図示せよ． (2) 点 (x; y) が領域 D を動くとき，x ¡ y の最大値を求めよ． (3) 点 (x; y) が領域 D を動くとき，y ¡ (x ¡ 1)2 の最大値を求めよ． （ 東京海洋大学 2010 ） 9 三角形 OAB において，辺 OA を 1 : 2 に内分する点を P，辺 OB を 1 : 2 に内分する点を Q，辺 OB を 2 : 1 ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! に内分する点を R，辺 AB の中点を S とする．OA = a ，OB = b とするとき，次の問に答えよ． ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) PR ? QS となるための条件を j a j，j b j と内積 a ¢ b を用いて表せ． ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (2) PR ? QS かつ j a j = 1 のとき，j b j のとりうる値の範囲を求めよ． （ 東京海洋大学 2010 ） 10 次の不等式 1，2，3 を同時にみたす領域を A，不等式 1，2，3，4 を同時にみたす領域を B とする． y 5 ¡4x2 + 24x ¡ 20 ÝÝ1 y5 ¡x2 + 16 ÝÝ3 y=0 ÝÝ2 a 5 x 5 a + 1 ÝÝ4 ただし，0 < a < 4 とする．このとき，次の問に答えよ． (1) 領域 A の面積を求めよ． (2) 領域 B の面積が最大になるときの a の値を求めよ． （ 東京海洋大学 2010 ）
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