固有値 行列の固有値を求める問題を LR 法により、行う。 ¶ ³ [例題] 行列の固有値を LR 法により求めるプログラムを作れ。 µ ´ [解説] 対称行列 A を上三角行列 R と下三角行列 L にわけ、 A = LR (1) とする。 l11 l21 L= ln1 0 l22 .. . ln2 .. . . . . lnn r11 R= 0 r12 r22 ... ... .. . r1n r2n .. . rnn 正方行列を A,B とするとき、任意の正則行列 (|P | 6= 0 であるような行列)P に対して、B = P −1 AP とな る関係があるとき、A と B は相似であるという。この関係式は、相似変換といわれ、A と B は同じ固有値を 持つ。 相似変換を繰り返し作用させて、対称行列や三角行列などにできるなら、対角成分として、固有値が求めら れる。 k 回変換されたものを Ak とし、A を LR 分解したものを Lk , Rk とするとき、Lk Rk = Ak とする。 このとき、Rk = L−1 k Ak となるから、k + 1 回目には、 Ak+1 = Rk Lk = L−1 k Ak Lk となる。Ak は、k → ∞ のとき、三角行列に収束する。その三角行列の対角要素が、A の固有値をなる。 1 (2)
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