図チャレ第124回 (2012年1月)

図チャレ第 124 回 (2012 年 1 月)
(1) 半径 1 の円に内接する正 24 角形の面積を求めよ。
(2) 円周率は 3.1 より大きいことを示せ。
解答
(1) 半角公式より
√
3
π
√
√
1 − cos
1−
4−2 3
( 3 − 1)2
6
2
2 π
=
=
=
=
sin
12
2
2
8
8
√
π
3 −1
√
=
∴ sin
12
2 2
正 24 角形を 24 個の二等辺三角形の和と考えて，正 24 角形の面積 S は
1 2
2π
S = 24 ×
1 sin
2
24
√
3 −1
√
= 12 ×
2 2
√
√
√ √
3 − 1 = 3 6 − 3 2 (答)
=3 2
(2) sin
π
の計算と同様にして
12
√
π
3 +1
√
=
cos
12
2 2
半径 1 の円に内接する正 24 角形の周の長さを L とすると
π
π 2
1
2
2
1 − cos
L = 24 × 2 sin
= 48 ×
24
2
12
√
√
2 2 − ( 3 + 1)
√
= 482
2 2 2
√
√
= 288(4 − 6 − 2 )
L < 2π より
√
√
π 2 > 72(4 − 6 − 2 )
9.61 ÷ 72 = 0.133 ··· より
3.12 < 72 × 0.134
√
√
0.134 と 4 − 6 − 2 の大小について
√
√
√
√
4 − 6 − 2 − 0.134 = 3.866 − ( 6 + 2 )
2
1
······ 2
······ 3
······ 2
1.416 = 2.005056 > 2 および 2.45 = 6.0025 > 6 より
√
√
3.866 = 2.45 + 1.416 > 6 + 2
1, 2, 3, 4 より
√
√
2
π > 72(4 − 6 − 2 ) > 72 × 0.134 > 3.12
— 1 —
4
······ (証明おわり )
∴ π > 3.1
(注 ) π > S を用いると，
√ √
S = 3 2 ( 3 − 1) > 3 × 1.414 × 0.732 = 3.09636
となって評価が甘い。
— 2 —

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