演習(7)解答例
１．次の定数係数２階常微分方程式について以下の問いに答えなさい．
2 y ′′ − 2 y ′ + 5 y = 0
(a) 従属変数 y を(3.9)式によって z に変数変換し，方程式を標準形に書き直しなさい．[2 点]
(b) 次に，書き直した方程式を解くことによって，y を x の関数として求めなさい．[3 点]
【解】 y ′′ の係数が 2 であるので，(3.1)式で p = –1 に相当することに注意する．
(a) (3.9)式より
y = ex 2z
とおくと，
1 
1 


y ′ =  z ′ + z e x 2 ， y ′′ =  z ′′ + z ′ + z e x 2
2 
4 


となるから，元の方程式に代入すると，標準形
z ′′ +
9
z=0
4
を得る．
(b) λ = 3/2 に相当するので，z の解は
z = a sin
3
3
x + b cos x
2
2
したがって，y は
3
3 

y =  a sin x + b cos x e x 2
2
2 

微分方程式 2016