第 3 回新潟県数学選手権中学生大会予選問題問題 1 (20 点) 次の問題に答えなさい。 (1) 3 つのサイコロを振って，それぞれの出た目の積が偶数になる確率を求めなさい。 (2) 下の図のような分数の不等号を使った式があったが，真ん中の分数の分子と分母が見えなくなってしまった。この数は何だったか。ただし，○と□には一桁の数字が入るとする。答えは一つ見つければよい。 10 ○ 11 < < 17 □ 18 問題 2 (20 点) 次のような正多面体の塗り分けの場合の数を答えなさい。ただし，回転して一致する塗り方は同じと考える。 (1) 正四面体の各面を 4 色すべて使って塗り分けるときの場合の数。 (2) 正六面体の各面を 6 色すべて使って塗り分けるときの場合の数。問題 3 (20 点) 正方形 ABCD において，辺 AB, BC, CD, DA 上に 4 点 E, F, G, H を取り，AE = BF = CG = DH とする。線分 AF と BG の交点を I，BG と CH の交点を J，CH と DE の交点を K，DE と AF の交点を L とする。四角形 IJKL が正方形であることを証明しなさい。問題 4 (20 点) n を自然数とするとき，n を次のように定める。  n (n が偶数のとき) n = 2 n + 1 (n が奇数のとき) 今，この操作を n → n → n → · · · と繰り返し行い，1 が得られたら操作を停止することにする。 (例) n 2 3 4 5 → n → 1 → 4 → 2 → 6 → n → ··· → → → → 1 → 4 2 1 3 → 2 → 1 次の問題に答えなさい。 (1) 33 は何回の操作で 1 になるか。 (2) 「2 以上のどんな自然数もこの操作を繰り返すといつか 1 になる」ということを示しなさい。 1 問題 5 (20 点) 次の問題に答えなさい。 1 の 3 枚の長方形 A, B, C があり，3 枚合わせると正方形をおおってい 2 るとする。A, B, C のすべての共通部分の面積を S ，B と C の共通部分の面積を a，C と A の共通部分の面積を b，A と B の共通部分の面積を c とするとき，S を a, b, c で表しなさい。 (1) 面積 1 の正方形の中に面積 (2) 面積 1 の球面に 2 つの半球面があり，それぞれの周である円を A, B と名づける。2 つの半球面の共通部分の面積 S を，共通部分の側で A と B がなす角度 z ◦ で表しなさい。 (3) 面積 1 の球面に 3 つの半球面があり，それぞれの周である円を A, B, C と名づける。すべての半球面の共通部分の面積 S を，それを取り囲む角で表しなさい。ただし，B と C のなす角度を x◦ ，C と A のなす角度を y ◦ ，A と B のなす角度を z ◦ とする。 2