2012 年度花園高等学校第 l 回入学試験問題数学〈特進〉 ※ I は答えだけを書き，それ以外は答えだけでなく途中の計算や説明も書きなさい。 1.次の各問いに答えなさい。 - X Yz - ( 5 ) 連立方程式 ( - 士山3) 3 × x +Y z Ix { : υ - 3 10 。 ( 4 ) x2 )2 、、，， -~の 5 t v F品 JJ ，， ω( 斗C しを ‘ EE 算計、‘ A z 一3 2 、 ‘E ‘E ‘'ι aEaEE ，，，、 111/ 、， EEEE-- ‘，EEEE . ，.，，EF--t ‘、一3 4 ，， 6一5 りん qu 、 flit--t l ‘，、、，，，〆 1i ω( 1 一日) 2 +( 百十 β ) (才一行) を計算しなさい。を計算しなさい。を因数分解しなさい。 2 :3 l4x- 3y = 2 を解きなさい。 2(x+ 1)2 = 2x+ 14 ( 6 ) 2 次方程式 ( 7 ) 1 から 100 までの整数で 5 または 7 で割り切れる整数は何個あるか求めなさい。を解きなさい。 I I. 1 から 5 の数が書かれた 5 枚のカードがある。この中から異なる 3 枚のカードを選び 3 けたの整数をつくる。このとき，次の各問いに答えなさい。 ( 1 ) 百の位の数が 1 である整数は何個つくれるか求めなさい。 ( 2 ) 3 けたの整数は全部で何個つくれるか求めなさい。 ( 3 ) ーの位の数よりも十の位の数が大きく，十の位の数よりも百の位の数が大きくなる確率を求めなさい。ただし，どのカードを選ぶのも同様に確からしいものとする。 2- 1 皿.右の図のように，放物線 y= αχ2 と直線 l が 2 点 A(3 ， 9) ， B で交わっている。また直線 l と χ 軸との交点を C(-~ ， U 0 ) とするとき，次の各聞いに答えなさい。 ( 1 ) α の値を求めなさい。 ( 2 ) 点 B の座標を求めなさい。 B ( 3 ) 直線 l と u 軸との交点を D とし， D を通る直線と線分 OA の交点を E とするとき，ム OAB: ム ADE = 2: 1 であった。このとき， χ E の座標を求めなさい。 IV. 円上に 3 点 A ， B , C があり， A B = .f言， ζACB-60 0 である。 P AC の C 側の延長上に CP=BC となる点 P をとるとき，次の各聞いに答えなさい。 C ( 1 ) ζAPB の大きさを求めなさい。 ( 2 ) AC+BC の長さの最大値を求めなさい。 A すい V. 右の図のように，すべての辺の長さが 4 の四角錐 O-AB CD がある。。このとき，次の各問いに答えなさい。 ( 1 ) この四角錐の表面積を求めなさい。入 D" ¥ ( 2 ) ( 3 ) この四角錐の体積を求めなさい。 2 辺 OA ， ¥ ¥ A ¥ C OB の長さだけを変えて，この 2 辺以外の辺の長さは変えず，四角錐をつくる。体積をできるだけ大きくするとき，辺 OA の長さを求めなさい。 B 2-2 2 0 12 年度花園高等学校第 l 回入学試験解答数学〈特進〉日 | 受験番号 | ※ I は答えだけを書き，それ以外は答えだけでなく途中の計算や説明も書きなさい。 ( 1) ( 2 ) ( 3) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) N E ( 3) ( 1 ) ( 1) ( 2 ) ( 2 ) V 皿 ( 3 ) ( 3) ( 4 ) 日 2 0 12 年度花園高等学校第 l 回入学試験解答数学〈特進〉 ※ I は答えだけを書き，それ以外は答えだけでなく途中の計算や説明も書きなさい。 ( 1 ) -27 -4 , Y= -6 (5)χ= 6一半 ( 2 ) (6)χ= ( 7 ) -3 , 2 5 点 x7 32 個 0 ( 1 ) ど B CP =1 80 60 = 120 ζ C P B = ζCBP 1:.三ヵ、ら ζAP B = ( 180 120 2 = 30 0 (1)小さい整数から順にあげると， 0 - 123 , 124 , 125 , 132 , 134 , 135 , 142 , 143 , 145 , 152 , 153 , 154 よって， (x- 1 )(x- yz) ( 4 ) ( 3 ) -15b 0 0 0 - )--;.- 12 個 (6 点) (5 点) ( 2 )A C+B C = A C + C P = A P ( 2 )(1) と同様に百の位の数が 2 ， 3 , 4 , 5 である整数も I I I N I 同じ個数だけあるので 1 2 より AP の最大値を求める x 5= 60 個 (1) より L A P B = 30 0 だから，円周角の定理の逆より点 P の位置に関わらず 3 点 A ， B ， P はある一つの円周上の点である AP が最大となるのはこの円の (6 点) I I 直径となるときだから，ム ABP は (3) ーの位の数よりも十の位の数が大きく， L P B A= 90 0 の直角三角形となるので AB =点より， AP = 2 お十の位の数よりも百の位の数が大きくなる数は 543 , 542 , 541 , 532 , 531 , 521 , 432 , 431 , 421 , 321 の 10 通りあるから，求める確率は 1 0 6 0 1 6 (7 点) (6 点) ( 1)底面の正方形の面積は 4 x 4 = 1 6 (1) 放物線 ν=αχ2 上に点 A (3 , 9) があるから側面の正三角形の高さは 2 おになるから 9 = 9α よって， α= その面積は j × 4 × 2 行 = 4 お 1 よって，表面積は 16 +4行 X 4= 1 6 + 16 お (6 点) (5 点) ( 2 )A C と BD の交点を H とすると (2) 直線 l を y = px+q とおくと 2 点 A ， C を通る 1 9= 3p+ q からt. 0 1 3 P +q =2 : AH=jAC=j × 4 行= 2. . { 2 q=3 よって， p=2 ，ゆえに，直線 l と y= αχ2 の交点の x 座標について χ2 O H =イ OA2 - A H2= 打6-=8 = 2. . { 2 =2x+ 3 (x- 3 )(χ+ 1 ) よって， χ = 皿ム OAH で三平方の定理より =0 I 3, -1 V したがって，点 B の座標は( ー 1 , よって，求める体積は 1 ,- - x1 6 x 2 、/2 ー 32V2 =一一一一 1 ) (6 点) (6 点) ( 3 )0 D =3 ム OAB ( 3)体積が最も大きくなるのはム OCD が底面 ABCD より =ム OD ニエ× 3 × l+1 × 3 × 3=6 2 2 ム OAB: ム ADE=2:1 ム AD に垂直になるときである B +ム ODA ム ADE で三平方の定理よりより E =3 A E=. ;AD2 3 ム ODB=? よりム ODE =2 : 点E は y =3χ 点 E の座標は (1 l 十 D E2 =訂τ了4 = 2 おさらに，ム OAE で三平方の定理より O A= . jAE2 + OE2 二 βo + 1 2 = 4 、f2 したがって，点 B の χ 座標が - 1 なので点 E の χ 座標は点 0 から辺 DCfこ垂線 OE を引くと o E= 2 、(3 となる上にあるので , 3 ) (6 点) (6 点)