伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊円の接線の見方についての考察いしはら石原さとし諭伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊特集教材研究伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 §0．はじめに E(X ℓ，Yℓ) は円 O の外部にあるので，⑵により円の接線の公式における接点を，円外や円内に動 X ℓ +Yℓ =r  かすことにより，接線の公式のもつ意味が広がっては Aℓ，Bℓ を通るきます。ここでは，偶然つながった 2 通りの見方に直線である。これついて述べます。が点 P(，) を通るので代入する    §1．円  + =r と点 P(，) と方程式 +=r  の関係円 O： + =r  および点 P(，) についと X ℓ +Yℓ =r  が成り立つが，こて，方程式 +=r はの式は ⑴ +=r  上に E(X ℓ，Yℓ) があることを表して  点 P が円周上にあるときは，点 P における接線の方程式を表す。(これは教科書で学習よって， ℓ を点 P を通る任意の直線とすれば，点します。) ⑵ いる。点 P が円の外部にあるときは，点 P から円 O に 2 本の接線を引き，接点を A，B とする E は直線 +=r  上にある。逆に，+=r  上の任意の点 E(X，Y ) をとき， 2 点 A，B を通る直線の式を表す。とると， E から円に 2 つの接線が引ける。(点 E が (この性質はよく知られています。) 円の外部にあることは，直線 +=r  と原点 r  −r   > =r>0 となることよ   r   + (⑵の理由) A(，) における接線の式はとの距離が +=r  であり，これが点 P を通るのでりわかります。) その接点を A，B とすれば，2 点 A， +=r  ……① 同様にして，B(，) とすれば +=r  ……②  ①，②は，直線 +=r が点 A，B を通ることを示している。終 ⑶ B を通る直線は X+Y=r  ……① である。一方，E(X，Y ) は +=r  上にあるので， X+Y=r  を満足している。このことは①，すなわち，A，B を通る直線は点 P を通るということ点 P が円の内部にあるときは，点 P(，) を通る任意の直線 ℓ を考え， ℓ と円 O との 2 を表している。よって逆も成り立つ。以上により，証明された。終つの交点を Aℓ，Bℓ とする。また，Aℓ，Bℓ に §2．反転との関係おける円 O の接線を，αℓ，βℓ とする。 αℓ と βℓ の交点を E(X ℓ，Yℓ) とすると， ℓ が点 P を通ってかつ，傾きを変えながら変化す  るとき，点 E の描く軌跡が +=r となる。 (理由) 8 ℓ を任意にとり固定する。このとき，このことは実は反転と関係があることがわかります。次の図のように，OP を直径とする円Kを考えると αℓ と βℓ の交点 E は，円Kと直線 OE との交点 F の円 O に関する反転である。 Q を半直線 OP と直線 +=r  との   交点とすると，OP⟂EQ であることがわかるので， §3．感想 ∠OQE=90° である。また，∠FOP=∠QOE であ転像の軌跡を 2 つの接線の交点から描いたというるから，△OFP△OQE となる。描き方の違いであるということになります。 (理由) ゆえに，OP：OE=OF：OQ であるから， OE⋅OF=OP⋅OQ= + ⋅   −r  =r   + 結局，点 E の軌跡は円Kの反転像であり，⑶は反数研通信 No. 39 の遠藤一成先生と内藤弘嗣先生の記事を読んで，円の接線と反転との関係を初めて知りましたが，この性質はその証明からすぐにわかよって，点 E は点ることであると，後になって気がつきましたので， F の円 O に関する今回ご報告させていただきました。反転であり，また，点 Q は点 P の円 O に関する反転である。終《参考文献》〔1〕遠藤一成，内藤弘嗣+=r  と反転について数研通信 No. 39 数研出版 (静岡県立気賀高等学校) 9