2015　特選理系　数学演習a　1学期中間⑪ (　)組(　)番　名前(　)　１ △OAB の辺 OA を 2：1 に内分する点を D，辺 OB を 3：2 に内分する点を E とし，線分 AE と BD の交点を P とする。OA= a，OB= b とするとき，OP を a，b を用いて表せ。 O 3 2 s,tでの連立で解くver E D 1 a s P A 1- t 1- s 2 t b B チェバの定理ver ２ △ABC において，辺 AB を 3：1 に内分する点を D，辺 AC を 2：3 に内分する点を E とし，線分 BE と線分 CD の交点を P とする。AB= b，AC= c とするとき，AP を b， c を用いて表せ。 -1- ３ △OAB において，辺 OA を 2：1 に内分する点を C，辺 OB を 3：1 に内分する点を D，線分 AD と BC の交点を P，直線 OP と辺 AB の交点を E とする。OA= a，OB= b とおくとき (1) (1)　ベクトル OE を a，b で表せ。 O (2)　ベクトル OP を a，b で表せ。 2 3 C P 1 A ４ E D 1 B △ABC において，辺 AB を 1：5 に内分する点を P，辺 AC を a：0 1 - a 1 に内分する点を Q，BQ と CP の交点を K，直線 AK と辺 BC の交点を R とする。ただし，a は 0< a <1 を満たす。このとき，次のベクトルを AB，AC と a を用いて表せ。 (1)　AR　(2)　AK ５終わった方用三角形 OAB において，線分 OA を 2：1 に内分する点を E，線分 EB を s：0 1 - s 1 に内分する点を F とする。OA= a，OB= b とおく。 (1)　OF を a，b，s を用いて表せ。 (2)　OF の延長線が，線分 AB の中点を通るとき，s の値を求めよ。 -2- １ s　OP= 4 1 a+ b 9 3 ２ s　AP= 9 1 b+ c 14 7 ３ s　(1)　OE= 2 3 1 1 a + b　(2)　OP= a + b 5 5 3 2 ４ s　(1)　AR= 1-a 5a 1-a 5a AB+ AC (2)　AK= AB+ AC 1 + 4a 1 + 4a 6-a 6-a ５ s　(1)　OF= 2 2 1 - s 1a + sb　(2)　s = 30 5 -3- １ AP：PE= s：0 1 - s 1 とすると O OP= 0 1 - s 1OA+ sOE 3 2 3 = 0 1 - s 1a + sb　…… ① 5 1 a s P A 1- t OP= tOD+ 0 1 - t 1OB = 2 ta + 0 1 - t 1b　…… ② 3 ①，② から　0 1 - s 1a + ２ 1- s 2 t 2 3 t， s =1- t 3 5 5 2 4 1 ，t = よって　OP= a + b 9 3 9 3 BP：PE= s：0 1 - s 1 とすると A AP= 0 1 - s 1AB+ sAE 2 3 2 = 0 1 - s 1b + s % c 5 = 0 1 - s 1b + E 1-t 2 sc　…… ① 5 CP：PD= t：0 1 - t 1 とすると = 3 b + 0 1 - t 1c 4 3 tb + 0 1 - t 1c　…… ② 4 ①，② から　0 1 - s 1b + 2 3 sc = tb + 0 1 - t 1c 5 4 b ' 0，c ' 0，bTc であるから 1- s = 3 2 t，　s =1- t 4 5 これを解いて　s = s= 5 6 ，t = 14 7 5 を ① に代入して 14 8 AP= 1 - b B AP= tAD+ 0 1 - t 1AC = t % b B 3 2 sb = ta + 0 1 - t 1b 5 3 a ' 0 ，b ' 0 ，aTb であるから　1- s = これを解いて　s = E D BP：PD= t：0 1 - t 1 とすると 5 2 5 b+ % c 14 5 14 9 9 1 = b+ c 14 7 -4- 1 D s P 1-s 3 t c C ３ (1)　△OAB において，チェバの定理により (1) O AE BD OC =1 ･･ EB DO CA ゆえに　2 AE 1 2 ･･ =1 EB 3 1 3 C よって　2AE=3EB から　AE：EB=3：2 2OA + 3OB 2 3 したがって　OE= = a+ b 3+2 5 5 A (2)　△OAE と直線 BC について，メネラウスの定理により E O 2 5 EP 2 ゆえに，(1) から　･･ =1 2 PO 1 C よって 10EP=2PO から　EP：PO=1：5 1 これと (1) により４ B (2) AB EP OC =1 ･･ BE PO CA OP= D 1 P 1 5 5 2 3 1 1 OE= a+ b = a+ b 1+5 6 5 5 3 2 8 9 A P 3 (1)　△ABC において，チェバの定理により 1 BR CQ AP =1 ･･ RC QA PB a Q 5 K よって　0 1 - a 1BR=5aRC から B BR：RC=5a：0 1 - a 1 B A P BR 1 - a 1 ゆえに　･･ =1 RC a 5 2 E 1-a R C したがって 1 - a 1AB + 5aAC 1-a 5a AR= 0 = AB+ AC 5a + 0 1 - a 1 1 + 4a 1 + 4a (2)　△ABR と直線 CP について，メネラウスの定理により 1 BC RK AP =1 ･･ CR KA PB ゆえに，(1) から　P 5 1 + 4a RK 1 ･･ =1 1 - a KA 5 よって　0 1 +4a 1RK=50 1 - a 1KA から RK：KA=50 1 - a 1：0 1 +4a 1 1 + 4a 1 + 4a 1 - a 5a AR= AB + AC 6-a 6 - a 1 + 4a 1 + 4a = 8 1-a 5a AB+ AC 6-a 6-a -5- K R B 5a これと (1) により AK= A 9 1-aC ５ (1)　OE= 2 a であるから 3 O 2 OF= 0 1 - s 1OE+ sOB = 2 1 - s 1a + sb　…… ① 30 (2)　線分 AB の中点を M とすると OM= E 1 a A s a+b 2 点 F は線分 OM 上にあるから，OF= kOM となる実数 k がある。よって　OF= ①，② から　1 1 ka + kb　…… ② 2 2 2 1 1 1 - s 1a + sb = ka + kb 30 2 2 a ' 0 ，b ' 0 ，aTb であるから 2 1 1 1 - s 1 = k，s = k 30 2 2 これを解いて　k = 4 2 ，s = 5 5 -6- F 1-s M b B