1 三角形 ABC を AB = AC かつ AB > BC

年番号
1
氏名
三角形 ABC を AB = AC かつ AB > BC である二等辺三角形とする．辺 AB 上の点 D を，三
2
角形 ABC と三角形 CDB が相似となるようにとる．三角形 ABC の外心を O，三角形 ADC の
(1) 下図のように半径 r1 の円 O1 と半径 r2 の円 O2 が外接している．円 O1 と円 O2 の接点を P と
外心を P とする．以下の問いに答えよ．
次の各問に答えよ．
する．円 O1 の周上に点 P と異なる点 A をとり，線分 AP の延長と円 O2 の交点を B とする．ま
(1) 点 P は三角形 ADC の外部にあることを示せ．
た，円 O1 の周上に点 P，点 A と異なる点 C をとり，線分 CP の延長と円 O2 の交点を D とする．
(2) 四角形 AOCP において，ÎAOC = ÎAPC であることを示せ．
このとき，次の ‘，’ に答えよ．
(3) 三角形 CDB の外心は，三角形 ADC の外接円の周上にあることを示せ．
（奈良女子大学 2014 ）
‘ 点 P における円 O1 の接線を利用して，AC //BD であることを示せ．
’ 円 O1 の中心と O2 の中心を結ぶ直線を利用して，点 P は線分 AB を r1 : r2 に内分すること
を示せ．
(2) 下図のように半径 3 の円 C1 ，半径 4 の円 C2 ，半径 5 の円 C3 が互いに外接している．円 C2 と
円 C3 の接点を J，円 C3 と円 C1 の接点を K，円 C1 と円 C2 の接点を L とする．線分 JL の延長
と円 C1 の交点を M とし，線分 JK の延長と円 C1 の交点を N とする．このとき，四角形 KLMN
の面積は 4JLK の面積の何倍であるかを求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
3
x2 + 2xy + 3y2 = 27 を満たす整数の組 (x; y) は
になる組は，(x; y) = (
オ
;
カ
エ
組あり，その中で x ¡ y の値が最大
) である．
7
p を素数とするとき，次の問に答えよ．
(1) 2 つの自然数 m; n の最大公約数は 1 であるとし，x =
n
とおく．px が有理数であるなら
m
ば，m = 1 であることを示せ．
（早稲田大学 2015 ）
(2) 方程式
px = ¡x2 + 9x ¡ 5
4
k; m; n を自然数とする．以下の問いに答えよ．
が有理数の解 x をもつような組 (p; x) をすべて求めよ．
(1) 2k を 7 で割った余りが 4 であるとする．このとき，k を 3 で割った余りは 2 であることを示せ．
(2) 4m + 5n が 3 で割り切れるとする．このとき，2mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ．
（佐賀大学 2015 ）
（千葉大学 2015 ）
8
5
一辺の長さが 1 の正方形の紙片 ABCD の辺 BC 上に点 P を BP = t となるようにとる．ここで
次の 3 つの条件を満たす自然数の組 (x; y; z) を考える．
‘ x は奇数である．
t は 0 < t < 1 をみたす実数とする．辺 AB 上に点 Q，辺 CD 上に点 R をとって，線分 QR を折
’ x2 + y2 = z2
り目として，この紙片を折ると，点 A と点 P が重なるとする．また線分 AP と線分 QR の交点
“ x; y; z の最大公約数は 1 である．
を S とする．このとき，次の問いに答えよ．
例えば (x; y; z) = (3; 4; 5); (5; 12; 13) などがその例である．
(1) 線分 AS の長さを t で表せ．
(1) y は偶数であることを示せ．
(2) 線分 QB と線分 RC の長さを t で表せ．
（兵庫県立大学 2015 ）
(2) x = a2 ¡ b2 ; y = 2ab となる自然数 a; b が存在することを示せ．
(3) 条件を満たす (x; y; z) で，(3; 4; 5) と (5; 12; 13) 以外のものを 2 組求めよ．
（信州大学 2015 ）
6
以下の問いに答えよ．
(1) n が正の偶数のとき，2n ¡ 1 は 3 の倍数であることを示せ．
(2) p を素数とし，k を 0 以上の整数とする．2p¡1 ¡ 1 = pk を満たす p; k の組をすべて求めよ．
（九州大学 2015 ）
9
m を 2015 以下の正の整数とする．2015 Cm が偶数となる最小の m を求めよ．
（東京大学 2015 ）
10 次の 3 つの条件を満たす自然数の組 (x; y; z) を考える．
‘ x は奇数である．
’ x2 + y2 = z2
“ x; y; z の最大公約数は 1 である．
例えば (x; y; z) = (3; 4; 5); (5; 12; 13) などがその例である．
(1) y は偶数であることを示せ．
(2) x = a2 ¡ b2 ; y = 2ab となる自然数 a; b が存在することを示せ．
(3) 条件を満たす (x; y; z) で，(3; 4; 5) と (5; 12; 13) 以外のものを 2 組求めよ．
（信州大学 2015 ）

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