117 第 19 講平面図形（ⅲ）数学 A 【問題 1】（1） ABC において，辺 AB

第 19 講平面図形（ⅲ）
数学 A
【問題 1】
（1） △ABC において，辺 AB の延長上に AD : DB = 3 : 2 となるように点 D をとり，辺 BC の
延長上に BE : EC = 10 : 3 となるように点 E をとる．直線 AC と直線 DE の交点を F とす
るとき， AF を求めよ．
FC
（2）△ABC の内部の点 P と 3 頂点 A，B，C とを結ぶ直線が対辺 BC，CA，AB と交わる点を
それぞれ D，E，F とする． BD : DC = 2 : 3，FP : PC = 1 : 2 であるとき， CE を求めよ．
EA
117
【問題 2】
A
右図のように，
1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC の辺 AB，
AC 上に AD = CE
となるように 2 点 D，E をとり，線分 BE と線分 CD の交点を P とする．
AD = x のとき，三角形 PCE の面積を x の式で表せ．
x
D
E
P
B
1
x
C
118
【問題 3】
△ABC とその内部の点 P に対し，直線 AP と直線 BC との交点を D とし，直線 BP と直線 AC と
の交点を E とする．点 D が線分 BC を 1 : 2 に内分し， △ABC = 11 であるとき， CE の値を求め
△ABP
3
EA
よ．
119
【問題 4】
△ABC の内部に点 P をとり，直線 AP と辺 BC の交点を A ¢ ，直線 BP と辺 CA の交点を B¢ ，
直線 CP と辺 AB の交点を C¢ とし，直線 A ¢P と線分 B¢C¢ の交点を A ¢¢ とする．また，
BA ¢ : A ¢C = 1 : a ， AB¢ : B¢C = 1 : b ， AC¢ : C¢B =1 : g ， B¢A ¢¢ : A ¢¢C¢ = 1 : a ¢
とおく．
（1）比 BP を a ， b で表せ．また，同じ BP を a ¢ ， g でも表せ．
PB¢
PB¢
（2） a ¢ を a ， b ， g で表せ．
（3） A ¢ が BC の中点ならば A ¢¢ は B¢C¢ の中点であることを示せ．逆に， A ¢¢ が B¢C¢ の中点ならば
A ¢ は BC の中点であることを示せ．
120
第 19 講平面図形（ⅲ）解答
数学 A
【問題 1】
（1） △ABC において，辺 AB の延長上に AD : DB = 3 : 2 となるように点 D をとり，辺 BC の
延長上に BE : EC = 10 : 3 となるように点 E をとる．直線 AC と直線 DE の交点を F とす
るとき， AF を求めよ．
FC
（2）△ABC の内部の点 P と 3 頂点 A，B，C とを結ぶ直線が対辺 BC，CA，AB と交わる点を
それぞれ D，E，F とする． BD : DC = 2 : 3，FP : PC = 1 : 2 であるとき， CE を求めよ．
EA
（1） △BDE において，メネラウスの定理より
A
DA × BC × EF = 1
AB CE FD
\ 3 × 7 × EF = 1
1 3 FD
①
\ EF = 1
FD 7
3
C
B
7
…①
E
F
②
次に，△ADF において，メネラウスの定理より
D
DE × FC × AB = 1
EF CA BD
①より DE = 8 であるから，
EF
8 × FC × 1 = 1
CA 2
\ FC = 1
CA 4
したがって， AF = 5 = 5
FC
1
（2） △BCF において，メネラウスの定理より
BA × FP × CD = 1
AF PC DB
A
\ BA × 1 × 3 = 1
AF 2 2
E
F
よって， BA = 4 より AF = 3 となるから，
AF
3
FB
B
1
②
P
D
2
③
C
△ABC において，チェバの定理より
AF × BD × CE = 1
FB DC EA
\ 3 × 2 × CE = 1
1 3 EA
したがって， CE = 1
EA
2
121
【問題 2】
A
右図のように，
1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC の辺 AB，
AC 上に AD = CE
となるように 2 点 D，E をとり，線分 BE と線分 CD の交点を P とする．
AD = x のとき，三角形 PCE の面積を x の式で表せ．
x
D
E
P
B
1
x
C
△PCE = PE ´ △BCE
BE
また，
△BCE = EC ´ △ABC = x ´ 3 = 3 x
AC
1 4
4
△ABE に直線 DPC が通り，メネラウスの定理から
AD × BP × EC = x × BP × x = 1
DB PE CA 1 - x PE 1
2
\ PE = x
BP 1 - x
x2
\ PE =
BE 1 - x + x 2
よって，
△PCE =
x2
△BCE
1 - x + x2
=
x2
´ 3x
4
1 - x + x2
=
3x 3
4( x - x + 1)
2
122
【問題 3】
△ABC とその内部の点 P に対し，直線 AP と直線 BC との交点を D とし，直線 BP と直線 AC と
の交点を E とする．点 D が線分 BC を 1 : 2 に内分し， △ABC = 11 であるとき， CE の値を求め
△ABP
3
EA
よ．
A
x
B
① D

E
P
②
C
上の図で △BCE を直線 APD で切るとしてメネラウスの定理を用いると，
BD × CA × EP = 1
DC AE PB
ここで CA : AE = 1 : x とおくと
1 ´ 1 ´ EP = 1
2 x PB
\ EP = 2x
PB 1
△ABC = S とおくと，
△EBA = xS
さらに
△ABP = PB × △EBA
BE
PB = PB = 1
BE PB + PE 1 + 2x
\ △ABP =
x S
1 + 2x
S
= 11
△ABP 3
仮定より
\ 1 + 2x = 11
x
3
6x + 3 = 11x
これより
\ x=3
5
CE = 1 - x = 2 ¸ 3 = 2
EA
x
5 5 3
123
【問題 4】
△ABC の内部に点 P をとり，直線 AP と辺 BC の交点を A ¢ ，直線 BP と辺 CA の交点を B¢ ，
直線 CP と辺 AB の交点を C¢ とし，直線 A ¢P と線分 B¢C¢ の交点を A ¢¢ とする．また，
BA ¢ : A ¢C = 1 : a ， AB¢ : B¢C = 1 : b ， AC¢ : C¢B =1 : g ， B¢A ¢¢ : A ¢¢C¢ = 1 : a ¢
とおく．
（1）比 BP を a ， b で表せ．また，同じ BP を a ¢ ， g でも表せ．
PB¢
PB¢
（2） a ¢ を a ， b ， g で表せ．
（3） A ¢ が BC の中点ならば A ¢¢ は B¢C¢ の中点であることを示せ．逆に， A ¢¢ が B¢C¢ の中点ならば
A ¢ は BC の中点であることを示せ．
（1）
A
A
①
①
B¢
P
B
①
C¢
β
○
A¢
γ
○
C
α
○
A¢¢ ①
'
α
○
B¢
P
B
メネラウスの定理より
BP × B¢A × CA ¢ = 1 Û BP × 1 × a = 1
PB¢ AC A ¢B
PB¢ 1 + b 1
BP × B¢A ¢¢ × C¢A = 1 Û BP × 1 × 1 = 1
PB¢ A ¢¢C¢ AB
PB¢ a ¢ 1 + g
同様に
\ BP = a ¢(1 + g )
PB¢
b +1
= a ¢(g + 1)
a
（2）
（1）の結果から
\ a ¢=
1+ b
\ BP =
PB¢
a
b +1
a (g + 1)
（3）
A
①
①
B¢
C¢
β
○
γ
○
B
① A¢
α
○
C
チェバの定理より
BA ¢ × CB¢ × AC¢ = 1
A ¢C B¢A C¢B
b
\ 1 × × 1 =1
a 1 g
\ ag = b
よって，
（2）より
124
a¢ =
1+ b
a+b
…①
A ¢ が BC の中点のとき，a = 1 であるから①より a ¢= 1 となり， A ¢¢ は B¢C¢ の中点と
なる．逆に A ¢¢ が B¢C¢ の中点のとき， a ¢= 1 であるから ① より a + b = 1 + b
\ a = 1 となり， A ¢ は BC の中点となる．･･･終
125

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