< ポアソン核 > 0 < r < 1 なる定数 r と実数 x に対し 1 Pr (x) = 2π ( 1+2 r n cos (nx) = n=1 であるから n ) r cos (nx) n=1 とおくと，27 ページの結果より ∞ X ∞ X r(cos x − r) 1 − 2r cos x + r2 ½ ¾ 2r cos x − 2r2 1+ 1 − 2r cos x + r2 ½ ¾ 1 − r2 1 × = 2π 1 − 2r cos x + r2 1 Pr (x) = 2π となる。Pr (x) をポアソン核という。 Pr (x) は次の性質がある。 Pr (x) は偶関数で Pr (x) > 0 Z π Pr (x)dx = 1 (ii) −π ( +∞ (iii) lim Pr (x) = δ(x) = r→1−0 0 (i) :x=0 : x 6= 0 Pr (x) のグラフは右図のようであり，図１は r = 0.5, 図２は r = 0.7, 図３は r = 0.9 のグラフである。 すなわち Pr (x) は r → 1 − 0 のときデルタ関数 δ(x) に 収束し，一般の関数 f (x) に対し lim (f ∗ Pr )(x) = lim r→1−0 r→1−0 Z π −π f (t)Pr (x − t)dt = f(x + 0) + f (x − 0) 2 が成り立つ。 問 f (x) = [x] (前ページ例２) のとき，次の極限値を求めよ。 (1) lim (f ∗ Pr )(1) = (2) lim (f ∗ Pr )(1.5) = r→1−0 r→1−0 35
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