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京大理系数学　２０１５　解答例
@
（30 点）
次の 2 つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．
(a) 少なくとも 2 つの内角は 90°である．
(b) 半径 1 の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の
4 つの辺すべてに接することをいう．《解答》
文系 @ と同じ．京大理系数学　２０１５　解答例
#
（35 点）
(1) a を実数とするとき，(a ,0) を通り，y = ex + 1 に接する直線がただ 1 つ存在
することを示せ．
ª
º
an + 1 - an を求めよ．直線の接点の x 座標を an + 1 とする．このとき，lim
n Æ•
《解答》
(1) f(x) = ex + 1 とする．曲線 y = f(x) の点 (t ,et + 1) における接線の方程式
は
lt : y = et x + (1 - t)et + 1
である．
lt と ls が一致するための条件は
 et = es
- t=s

t
s
 (1 - t)e + 1 = (1 - s)e + 1
であるから，t の個数と接線の本数は一致する．よって，(a ,0) を通る接線
の本数は
0 = et a + (1 - t)et + 1
a = t - 1 - e- t ……… 1
を満たす実数 t の個数と一致する．
g(t) = t - 1 - e- t とおけば，a = g(t) を満たす実数 t の個数は，y = g(t) と
y = a のグラフの共有点の個数と一致する．
g'(t) = 1 + e- t > 0
であるから，g(t) は単調増加．
g(t) = • ,lim g(t) = - •
lim
t Æ•
tÆ- •
であるから，g(t) = a となる実数 t がただ 1 つ存在する．
以上より，題意は示された．
(2) a = an ,t = an + 1 として，1 に代入すると
an = an + 1 - 1 - e
- an + 1
- an + 1 - an = 1 + e
- an + 1
が成り立つ．
よって，
an + 1 - an ≥ 1 ……… 2
であるから，n が十分大のとき
an = (an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) + ……… + (a2 - a1) + a1 ≥ n （# 2）
が成り立ち， lim an = • である．
n Æ•
an + 1 = •
lim
n Æ•
より，
(2) a1 = 1 として，n = 1 ,2 ,… について，(an ,0) を通り，y = ex + 1 に接する
-
したがって，
ª
º
ª
an + 1 - an = lim 1 + e
lim
n Æ•
n Æ•
である．
- an + 1
º=1
京大理系数学　２０１５　解答例
$
一辺の長さが 1 の正四面体 ABCD において，P を辺 AB の中点とし，点 Q
が辺 AC 上を動くとする．このとき，cos –PDQ の最大値を求めよ．
《解答》
AQ = t (0 ≤ t ≤ 1) とおく． DP =
3
であり，0 < t ≤ 1 のとき，GAPQ ,
2
GAQD において余弦定理から
PQ = t 2 である． PA =
t 1
+ ,QD = t 2 - t + 1
2 4
1
,AD = 1 より，これは t = 0 のときも成立する．
2
よって，0 ≤ t ≤ 1 のとき，GPQD において余弦定理から
cos– PDQ =
-t+3
2 3 t2 - t + 1
である．
f( t ) =
(- t + 3)2
t2 - t + 1
とおくと，0 ≤ t ≤ 1 のとき cos–PDQ > 0 であるから，f(t) が最大となるとき，
cos–PDQ も最大となる．
f ¢(t) =
=
=
- 2(- t + 3)(t 2 - t + 1) - (- t + 3)2 (2t - 1)
(t 2 - t + 1)2
- ( - t + 3) {2(t 2 - t + 1) + (- t + 3)(2t - 1)}
(t 2 - t + 1)2
(t - 3)(5 t - 1)
(t 2 - t + 1)2
より，f(t) の増減表は次のようになる．
t
0
º
f ¢(t)
+
f(t )
W
ゆえに，f(t) は t =
1
5
0
º
1
Q
1
のとき，最大値をとる．
5
以上から，cos–PDQ は
t=
をとる．
1
のとき最大値
5
7
3
（35 点）
2
1
1
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
1
1
1
1
+
=
g( n + 1) g( n) g( n + 1) g( n + 2)
g( n) - g( n + 1) g( n + 1) - g( n + 2)
+
g( n) g( n + 1)
g( n + 1) g( n + 2)
-d
d
=
+
g( n) g( n + 1) g( n + 1) g( n + 2)
=
京大理系数学　２０１５　解答例
%
（35 点）
a ,b ,c ,d ,e を正の実数として整式
= d•
- 2d 2
≠0
g( n) g( n + 1) g( n + 2)
=
f(x) = ax2 + bx + c
- g( n + 2) + g( n)
g( n) g( n + 1) g( n + 2)
である．
g(x) = dx + e
また，
を考える．すべての正の整数 n に対して
f( n )
は整数であるとする．このとき，
g( n )
f(x) は g(x) で割り切れることを示せ．
g( n ) = •
lim
n Æ•
であるから，
lim
n Æ•
ª
º
2
1
1
=0
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
となるので，十分大きい n に対して常に
《解答》
2 次式 f(x) を 1 次式 g(x) で割った商を ax + b , 余りを g とすると，
f(x) = g(x) (ax + b) + g
と表すことができる．
以下，g = 0 を示す．x > 0 において g(x) > 0 であるから，
g
f(x)
= ax + b +
g(x)
g(x)
g
g
f( n + 1)
f( n )
= a( n + 1) + b +
,
= an + b +
g( n + 1)
g( n + 1) g( n)
g( n )
がともに整数である．よって，差をとって
も整数である．同様にして
g
g
g( n + 2) g( n + 1)
a+
=g
ª
º ª
g
g
g
g
- a+
g( n + 1) g( n)
g( n + 2) g( n + 1)
2
1
1
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
º
も整数である．
ここで，
2
1
1
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
1
1
1
1
=
+
g( n + 1) g( n) g( n + 1) g( n + 2)
g( n) - g( n + 1) g( n + 1) - g( n + 2)
+
g( n) g( n + 1)
g( n + 1) g( n + 2)
-d
d
=
+
g( n) g( n + 1) g( n + 1) g( n + 2)
=
= d•
=
- g( n + 2) + g( n)
g( n) g( n + 1) g( n + 2)
- 2d 2
≠0
g( n) g( n + 1) g( n + 2)
ª
ª
º
<1
º
2
1
1
は整数であるから
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
º
2
1
1
=0
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
2
1
1
≠ 0 であるので，
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
g=0
である．
以上から，f(x) は g(x) で割り切れることが示された．
f( n + 1) f( n)
g
g
=a+
g( n + 1)
g( n )
g( n + 1) g( n)
ª
2
1
1
g( n + 1) g( n) g( n + 2)
であるが，
与えられた条件から，正の整数 n に対して
も整数である．したがって，
ª
が成り立つ． g
g
である．
a+
g
º

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