数学第 3回課題

埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
埼玉工業大学学習支援センター
平成２７年度入学前教育（数学）第３回課題
注意：分数は既約分数で答えること。
係数が 1 の場合は省略せずに 1 を記入すること。
No. 15
１
複素数平面
複素数について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 複素数 z = 1 + √3 𝑖 を極形式で表すと
z =
1 − 1 ( cos
π
1−2
+ 𝑖 sin
π
1−3
)
( 2 ) 複素数 𝑧1 = −√3 − 𝑖 , 𝑧2 = 1 + 𝑖 について ,
𝑧1
𝑧2
の偏角は
1−4
12
π
2
( 3 ) 複素数平面上の点 z = √3 + 𝑖 を原点のまわりに 𝜋 だけ回転し
3
た点を表す複素数は
−√ 1 − 5 + 1 − 6 𝑖
(4) ﾄﾞ･モアブルの定理を用いて計算すると
(−1 + √3 𝑖)
6
1−7
=
+
1−8 𝑖
( 5 ) 方程式 𝑧3 = 8 𝑖 の解で , 複素数平面の第 1 象限にあるものは
√1−9 +
２
1 − 10 𝑖
複素数平面上に２点－ 2+3 𝑖 , 6+5 𝑖 があるとする。この２点を
直径とする円の円周上を動く点 z が満たす方程式を求めると
|𝑧 − ( 1 − 11 + 1 − 12 𝑖 )| = √ 1 − 13
No. 16
１
式と曲線
放物線について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 放物線 𝑦 2 = 8𝑥 の焦点は（ 1 − 14 , 0 ） ,
準線は x = − 1 − 15
この放物線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
17
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
を示し , 準線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
1
(2) 焦点が (0 ,
２
4
1
) , 準線が y = − 4 の放物線の方程式は 𝑦 = 1 − 16 𝑥 2
楕円について, 次の各問に答えなさい。
(1) 楕円
𝑥2
42
2
𝑦
+ 32 = 1 の焦点は（ √ 1 − 17 , 0 ）と（ −√ 1 − 18 , 0 ）
長軸の頂点は（ 1 − 19 , 0 ）と（ − 1 − 20 , 0 ）
短軸の頂点は（0 ,
1 − 21 ）と（ 0 , − 1 − 22 ）
この楕円上の点から２焦点までの距離の和は 1 − 23
この楕円のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置を
示しなさい。（グラフは提出不要です。）
( 2 ) 焦点が（ 0 , √5 ）と（ 0 , −√5 ）の楕円で , この２焦点から楕円
上の点までの距離の和が 6 である楕円の方程式は
𝑥2
1−24
2
+
𝑦2
1−25
2
=1
18
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
３
双曲線について, 次の各問に答えなさい。
(1) 双曲線
𝑥2
𝑦2
− 32 = 1 の焦点は（ 1 − 26 , 0 ）と（ − 1 − 27 , 0 ）
42
漸近線は𝑦=
1−28
1−29
𝑥 と𝑦=−
1−30
1−31
𝑥
この双曲線上の点から２焦点までの距離の差は 1 − 32
この双曲線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
を示し , 漸近線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
( 2 ) 漸近線が 2𝑥 − 3𝑦 = 0 , 2𝑥 + 3𝑦 = 0 で , 焦点が (√13 , 0) , (−√13 , 0) で
ある双曲線の方程式は
No.17
𝑥2
1−33
2
−
𝑦2
1−34
2
= 1
関数と極限
1
１
関数 𝑦 = 4𝑥 2 + 3 ( 𝑥 ≧ 0) の逆関数は 𝑦 =
２
２つの関数 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 − 2 , 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 3 について , 合成関数 𝑔( 𝑓(𝑥 ))
を求めると
３
𝑔( 𝑓 (𝑥 )) = 1 − 37 𝑥 2 –
1−35
√𝑥 − 1 − 36
1 − 38 𝑥 + 1 − 39
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
記入しなさい。
( 1 ) lim
5𝑛−3
𝑛→∞ 2𝑛+3
=
1−40
1−41
( 2 ) lim (√𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛) =
𝑛→∞
1 − 42
19
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
1 𝑛−1
( 3 ) ∑∞
𝑛=1 (− 2)
1−43
=
1−44
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
４
記入しなさい。
(1)
lim
𝑥→2
𝑥 2 −𝑥−2
𝑥 2 −4
=
1−45
1−46
( 2 ) lim {log10(2 + 𝑥 ) − log10 (1 + 𝑥 )} = 1 − 47
𝑥→∞
1
(3)
(4)
(5)
lim 3𝑥 = 1 − 48
𝑥→0
lim
𝑥→0
𝑥2
= − 1 − 49
1
lim 𝑥 cos 𝑥 = 1 − 50
𝑥→0
No.18
１
cos 2𝑥−1
微分法
次の関数を微分しなさい。
3
(1)
y ＝ √3𝑥 3 + 𝑥 − 3
(2)
y ＝ sin3 2𝑥
(3)
y ＝ 𝑒 −3𝑥
(4)
y = log|𝑥 3 + 2|
２
1
2−1
( 2 − 2 𝑥 2 + 2 − 3 )(3𝑥 3 + 𝑥 − 3)
−
2−4
2−5
y ' ＝ 2 − 6 sin2 2𝑥 cos 2𝑥
2 +𝑥+1
関数 𝑦 = 2𝑒 −3𝑥
y'＝
2
y ' ＝ (− 2 − 7 𝑥 + 2 − 8 )𝑒 −3𝑥
y'＝
2 +𝑥+1
2−9 𝑥 2−10
𝑥 3 +2
の増減, 極値, 曲線の凹凸を調べて, グラフを描
きなさい。（増減・凹凸の表とグラフは提出不要です。）
増減・凹凸の表は次の通り。
20
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
x
y'
y''
y
x = 2 − 11 のとき , 極大値 2 − 12 をとる。
変曲点の座標は (−
1
2−14
,
√ 2−13
√𝑒
) と (
1
√ 2−15
,
2−16
√𝑒
)
以上からグラフは次の通り。
積分法
No.19
１
次の積分の計算をしなさい。（ 𝐶 は積分定数）
1
１
𝑥+ 2−18
log |𝑥+
(1)
∫ (𝑥+3)(𝑥+1) 𝑑𝑥 =
(2)
∫ sin(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = −
(3)
∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
(4)
∫0 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
(5)
∫0 sin 𝑥 cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = 2 − 24
(6)
∫1 𝑥 log 𝑥 𝑑𝑥 =
２
2−17
1
3
2−20
|+𝐶
cos(2𝑥 + 3) + 𝐶
3
2−21
3
1
2−19
𝑒𝑥 + 𝐶
2−22
2−23
𝜋
𝜋
𝑒
1
2−25
𝑒2 +
1
2−26
積分法を用いて次の極限値を求めなさい。
21
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
lim
13 +23+33 + ････ +𝑛3
𝑥→0
３
0≦𝑥≦
𝑛4
𝜋
2
2−27
2−28
の範囲内で２つの曲線 𝑦 = sin 2𝑥 と 𝑦 = sin 𝑥
部分の面積は
４
=
に囲まれた
1
2−29
関数 y = 𝑒𝑥 ( 0 ≦ 𝑥 ≦ 1 ) のグラフが x 軸の周りに 1 回転してできる
立体の体積は
1
2−30
(𝑒 2−31 − 2 − 32 )𝜋
22

Download Report