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微積分学I 第８回テイラー展開
１．テイラー展開
∞
初等関数 f (x) の多くは， x = a で C 級なら，
f (x) =
∞
∑
k=0
f (k) (a)
f ′′(a)
f (k) (a)
(x − a)k = !
f (a) + f ′(a)(x − a) +
(x − a)2 +!+
(x − a)k +!
!#"#$
k!
2
k!
!##"##
$
k=0
k=1
k=2
と無限級数に展開できる．これを a を中心とする f (x) のテイラー展開という．特に， a = 0 とした，
f (x) =
∞
∑
k=0
f (k) (0) k
x をマクローリン展開という．//
k!
２．テイラー多項式と剰余
△ n − 1 次テイラー多項式（テイラー展開の最初の n 項）： pn−1 (x) =
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
(x − a)k ．//
k!
前回のTaylorの定理の定数 b を変数 x で置き換えて，次の定理を得る．
［定理1］(Taylor多項式と剰余) f (x) は a を含む開区間 I で n 回微分可能とする． x ∈I に対し， a, x の内
分点 c が存在して
f (x) − pn−1 (x) = Rn (x) =
f (n) (c)
(x − a)n ．//
n!
pn−1 (x) は f (x) の近似多項式．その剰余(誤差)は Rn (x) である．
［例1］0次近似( n = 1 )： f (x) − !
f (a) = R1 (x) = f ′(c)(x − a) 平均値の定理
p0 (x)
1次近似( n = 2 )： f (x) − { f (a) + f ′(a)(x − a)} = R2 (x) =
!##
#"###
$
p1 (x)
［例2］ f (x) = cos x のTaylor多項式( a = 0 )： p2n (x) = 1−
1
p0 HxL
f ′′(c)
(x − a)2
2
x2 x4
(−1)n x 2n
+
−!+
.
2 24
(2n)!
p4 HxL
p8 HxL
p12 HxL
cos x
p
-1
p2 HxL
p6 HxL
2p
p10 HxL
n が大きくなるにつれ， y = p2n (x) が y = cos x のグラフに絡みつくように接近する様子が見える．
授業資料 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ sugiurah/ 質問メールなど [email protected]
３．テイラー展開の収束
［定理2］(テイラー展開の収束条件) 剰余 Rn (x) について lim Rn (x) = 0 が成り立つなら，
n→∞
f (x) =
∞
∑
k=0
f (k) (a)
(x − a)k ．//
k!
(1)
定理2が成立するなら， n が大きいほど pn−1 (x) は誤差が小(良い近似)となる傾向がある．
（証明）
∞
∑
k=0
n−1 (k)
f (k) (a)
f (a)
(x − a)k = lim ∑
(x − a)k = lim pn−1 (x) = lim ( f (x) − Rn (x)) = f (x) ．//
n→∞
n→∞
n→∞
k!
k!
k=0
４．代表的な初等関数のマクローリン展開
ex =
∞
xk
x2 x3
=
1+
x
+
+ +!
∑ k!
2! 3!
k=0
∞
cos x =
(−1)k x 2k
x2 x4
= 1−
+
−!
(2k)!
2! 4!
k=0
sin x =
(−1)k x 2k+1
x3 x5
= x− +
−!
(2k + 1)!
3! 5!
k=0
∑
∞
∑
( x < ∞)
(2)
( x < ∞)
(3)
( x < ∞)
(4)
xn
= 0 ．//
n→∞ n!
［補題A］任意の x ∈! で， lim
（証明） x の整数部を N とすると， x < N + 1 …①．そこで， m = 2(N + 1) とすると k ≥ m で，
① 1
x
x
x
≤ =
< …②．ゆえに n ≥ m で，
k m 2(N + 1) 2
x
x
x
x
x ② x
=
⋅
⋅
⋅!⋅ <
n!
m! !
m ##
+1 #
m"
+ ###
2
n
m!
$
n
m
m
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2
n−m
→0
(n → ∞) ．//
n−m個
［例3］指数関数のマクローリン展開(2)が任意の x ∈! で収束すること証明する．
（証明）
ec n
dn x
x
a
=
0
R
(x)
=
x ． c は 0, x の内分点ゆえ c ≤ c < x ．これと
e
=
e
と定理1より(
として)
n
n!
dx n
xn
= 0 …②．ゆえに，
n→∞ n!
e x の単調増加性から， ec < e x …①．また，補題Aより， lim
Rn (x) =
ec n
xn ① x xn
x ≤ ec
≤e
→0
n!
n!
n!
(n → ∞) ．
よって，定理2より(2)が成立する．//
練習問題
補題Aを用いて，cosine関数のマクローリン展開(3)が任意の x ∈! で収束することを示せ．
（指数関数，三角関数のマクローリン展開の収束証明は中間試験に出ます．）
授業資料 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ sugiurah/ 質問メールなど [email protected]

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