2010 年度「数学 8」 − 76 − < 付録 1 : 区分的に連続な関数の積分可能性 > [定理] 区間 [a, b] で区分的に連続な関数 f (t) は (リーマン) 積分可能である。 (証明) f (t) の不連続点を t1 , t2 , · · · , tl (t0 = a 5 t1 < t2 < · · · tl < b = tl+1 ) とする。 Fi (t) = ⎧ ⎪ f (ti+1 − 0) : t = ti+1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ f (t + 0) i (0 5 i 5 l) : ti < t < ti+1 : t = ti とおくと, Fi (t) は部分区間 [ti , ti+1 ] で連続だから, [ti , ti+1 ] で有界かつ一様連続である。従って f (t) は [ti , ti+1 ] で有界である。よって f (t) は区間 [a, b] で有界であり M = sup {f (t) : a 5 t 5 b}, m = inf {f (t) : a 5 t 5 b} とおくと m 5 f (t) 5 M (a 5 t 5 b) である。また Fi (t) が (ti , ti+1 ) で一様連続だから f (t) も (ti , ti+1 ) で一様連続より ϕi (δ) = sup {|f (t) − f (t0 )| : |t − t0 | < δ, t, t0 ∈ (ti , ti+1 )} とおくと lim ϕi (δ) = 0 (1 5 i 5 l) が成り立つ。 δ→0 δ>0 従って lim max ϕi (δ) = 0 が成り立つ。 δ→0 δ>0 15i5l [a, b] の分割 ∆ : a = s0 < s1 < · · · < sn = b に対し, K = {k : 1 5 k 5 n, ある i (0 5 i 5 l) が存在し, [sk−1 , sk ] ⊂ (ti , ti+1 )} J = {k : 1 5 k 5 n, k ∈ / K} , |∆| = max |sk − sk−1 | 15k5n とおくと J の要素は高々l 個である。ここで分割 ∆ に対し S∆ = n X k=1 mk (sk − sk−1 ) , S¯∆ = n X k=1 Mk (sk − sk−1 ) mk = inf {f (t) : sk−1 5 t 5 sk } , Mk = sup {f (t) : sk−1 5 t 5 sk } とするとき S¯∆ − S ∆ = n X (Mk − mk )(sk − sk−1 ) = k=1 X k∈K (Mk − mk )(sk − sk−1 ) + X k∈J (Mk − mk )(sk − sk−1 ) 5 (b − a) max ϕi (|∆|) + (M − m)l|∆| → 0 (|∆| → 0) 15i5l すなわち lim (S¯∆ − S ∆ ) = 0 より f (t) は [a, b] で (リーマン) 積分可能である。(証明終了) |∆|→0