2014年度後期数学 C 確認問題3（解答） 3．フーリエ正弦級数・余弦級数

2014 年度後期数学 C 確認問題３（解答）
2014 年 10 月 21 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
３．フーリエ正弦級数・余弦級数
問 3.1 偶関数 g(x) に対して，
∫
∫
π
g(x)dx = 2
−π
π
g(x)dx
0
が成立することを示せ．
[解.] g(−x) = g(x) より，
∫
∫
π
∫
π
g(x)dx =
−π
g(x)dx +
∫−π
π
π
=
π
g(x)dx =
0
∫
∫
0
g(x)dx +
∫
∫
g(−x)dx
π
π
g(x)dx.
0
問 3.2 奇関数 h(x) に対して，
0
g(x)dx −
0
g(x)dx = 2
0
∫
0
π
h(x)dx = 0
−π
となることを示せ．また h(0) = 0 であることを確かめよ．
[解.] h(−x) = −h(x) より，
∫
∫
π
−π
∫
π
h(x)dx =
0
∫
=
π
h(x)dx −
0
∫
0
h(x)dx +
π
h(x)dx =
∫−π
π
∫
h(x)dx −
0
0
h(−x)dx
π
h(x)dx = 0.
0
また，h(0) = h(−0) = −h(0) より，h(0) = 0 も成立する．
問 3.3 (i) 偶関数と偶関数の積は偶関数になることを示せ．
(ii) 奇関数と奇関数の積は偶関数になることを示せ．
(iii) 偶関数と奇関数の積は奇関数になることを示せ．
[解.] g1 (x), g2 (x) を偶関数，h1 (x), h2 (x) を奇関数とする．
(i) f (x) = g1 (x)g2 (x) とおくと，
f (−x) = g1 (−x)g2 (−x) = g1 (x)g2 (x) = f (x).
(ii) f (x) = h1 (x)h2 (x) とおくと，
f (−x) = h1 (−x)h2 (−x) = (−h1 (x))(−h2 (x)) = h1 (x)h2 (x) = f (x).
(iii) f (x) = g1 (x)h1 (x) とおくと，
f (−x) = g1 (−x)h1 (−x) = g1 (x)(−h1 (x)) = −g1 (x)h1 (x) = −f (x).
1
問 3.4（三角パルス）関数
f (x) = |x|
(−π < x < π)
を周期 2π に拡張したもの（これを再び f (x) で表す）を考える．f (x) のフーリエ余弦級数を求めよ．
[解.] f (x) は偶関数なので，フーリエ余弦級数
f (x) ∼ a0 +
∞
∑
an cos nx
n=1
の係数 a0 , an (n ∈ N) を求めればよい．
a0 =
=
=
=
∫ π
1
f (x)dx
2π −π
∫ π
1
xdx
π 0
[ ]π
1 x2
π 2 0
π
2
および
an =
=
=
=
=
∫
1 π
f (x) cos nxdx
π −π
∫ π
2
x cos nx
π 0
∫ π
]π
2 [x
2
sin nx −
sin nxdx
π n
nπ 0
0
[
]π
2 1
cos nx
nπ n
0
2 ((−1)n − 1)
2
(cos
nπ
−
1)
=
n2 π
n2 π
から，
f (x) ∼
∞
π
2 ∑ ((−1)n − 1)
+
cos nx
2 π
n2
n=1
または
f (x) ∼
∞
4∑
1
π
−
cos(2n − 1)x.
2 π
(2n − 1)2
n=1
2

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