前半模擬テスト問題（中間レポート課題）

前半模擬テスト問題（中間レポート課題）
5 問を 3 週間で解いてきてください．必ず配布する用紙に解答すること．問番号
の右の数字は配点．なお，本試験は 6 問．
5 × 4 = 20
問１（微分と極限）
以下を計算（微分記号や極限記号を含まない形の式で表現）せよ．
d
d
xex
(i) (xex ) (ii)
log 2
dx
dx
x −1
d
1
(iii)
tan √
dx
x
(iv) lim
x→∞
1
1−
x
x
5 × 4 = 20
問２（積分）
以下を計算（積分記号を含まない式で表現）せよ．
(i)
1
0
arctan xdx (ii)
∞
0
1
dx (iii)
ex + e−x
∞
0
e−x sin xdx (iv)
e
1
log xdx
1
を利用．(iii) ２回部分積分すると元
1 + x2
の形が出る．(iv) も（高校でやったように）部分積分．
ヒント：(i) 部分積分で (arctan x) =
問３（グラフ）
１＞ x−x
8 + 6 + 6 = 20
d −x x
を求めよ．
dx
= 1 及び lim x−x = 0 を示せ．
(0 < x) の導関数：
２＞ lim x−x
x→+0
３＞ y = x−x
x→∞
(0 < x) のグラフの概観を手書きせよ（横軸 x，縦軸 y ）．
5 × 4 = 20
問４（ガンマ関数）
ガンマ関数 Γ(x)
∞
def
=
e−t tx−1 dt
0
(x > 0) に関して以下の問に答えよ．
１＞任意の正の実数 x に対して Γ(x + 1) = xΓ(x) を証明せよ．
∞
√
2
２＞ Γ(5/2) の値を求めよ．ただし，
e−x dx = π を用いてよい．
−∞
３＞ lim Γ(x) = ∞， lim Γ(x) = ∞ を証明せよ．
x→∞
４＞ y = Γ(x)
x→+0
(0< x) のグラフの概観を手書きせよ（横軸 x，縦軸 y ）．ただ
∞
し，Γ (x) =
0
e−t tx−1 (log t)2 dt を用いてよい．
1
問５（応用問題）
6 + 6 + 8 = 20
def
積分で定義される関数 F (x) =
∞
0
2
e−t cos xt dt を考える（−∞ < x < ∞）．
なお，F (x) は任意の x で有限確定．なぜなら，
∞
0
−t2
e
| cos xt| dt ≤
∞
0
以下では，cos 関数のテーラー級数：cos y =
級数：ey =
∞
yk
を用いてよい．
k=0 k!
∞
2
e−t dt < ∞
∞
(−1)k 2k
y ，指数関数のテーラー
k=0 (2k)!
2k − 1
Ik−1 を示せ（k = 1, 2, . . .）．
2
0
∞
∞
(−1)k x2k
2
Ik を示せ．
２＞ (F (x) =)
e−t cos xt dt =
(2k)!
0
k=0
√
∞
√
π −x2 /4
2
e
を示せ．ただし，
e−t dt = π を用いてよい．
３＞ F (x) =
2
−∞
１＞ Ik =
2
e−t t2k dt と置く．Ik =
2

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