前半模擬テスト問題(中間レポート課題) 5 問を 3 週間で解いてきてください.必ず配布する用紙に解答すること.問番号 の右の数字は配点.なお,本試験は 6 問. 5 × 4 = 20 問1 (微分と極限) 以下を計算(微分記号や極限記号を含まない形の式で表現)せよ. d d xex (i) (xex ) (ii) log 2 dx dx x −1 d 1 (iii) tan √ dx x (iv) lim x→∞ 1 1− x x 5 × 4 = 20 問2 (積分) 以下を計算(積分記号を含まない式で表現)せよ. (i) 1 0 arctan xdx (ii) ∞ 0 1 dx (iii) ex + e−x ∞ 0 e−x sin xdx (iv) e 1 log xdx 1 を利用.(iii) 2回部分積分すると元 1 + x2 の形が出る.(iv) も(高校でやったように)部分積分. ヒント:(i) 部分積分で (arctan x) = 問3 (グラフ) 1> x−x 8 + 6 + 6 = 20 d −x x を求めよ. dx = 1 及び lim x−x = 0 を示せ. (0 < x) の導関数: 2> lim x−x x→+0 3> y = x−x x→∞ (0 < x) のグラフの概観を手書きせよ(横軸 x,縦軸 y ). 5 × 4 = 20 問4 (ガンマ関数) ガンマ関数 Γ(x) ∞ def = e−t tx−1 dt 0 (x > 0) に関して以下の問に答えよ. 1> 任意の正の実数 x に対して Γ(x + 1) = xΓ(x) を証明せよ. ∞ √ 2 2> Γ(5/2) の値を求めよ.ただし, e−x dx = π を用いてよい. −∞ 3> lim Γ(x) = ∞, lim Γ(x) = ∞ を証明せよ. x→∞ 4> y = Γ(x) x→+0 (0< x) のグラフの概観を手書きせよ(横軸 x,縦軸 y ).ただ ∞ し,Γ (x) = 0 e−t tx−1 (log t)2 dt を用いてよい. 1 問5 (応用問題) 6 + 6 + 8 = 20 def 積分で定義される関数 F (x) = ∞ 0 2 e−t cos xt dt を考える(−∞ < x < ∞). なお,F (x) は任意の x で有限確定.なぜなら, ∞ 0 −t2 e | cos xt| dt ≤ ∞ 0 以下では,cos 関数のテーラー級数:cos y = 級数:ey = ∞ yk を用いてよい. k=0 k! ∞ 2 e−t dt < ∞ ∞ (−1)k 2k y ,指数関数のテーラー k=0 (2k)! 2k − 1 Ik−1 を示せ(k = 1, 2, . . .). 2 0 ∞ ∞ (−1)k x2k 2 Ik を示せ. 2> (F (x) =) e−t cos xt dt = (2k)! 0 k=0 √ ∞ √ π −x2 /4 2 e を示せ.ただし, e−t dt = π を用いてよい. 3> F (x) = 2 −∞ 1> Ik = 2 e−t t2k dt と置く.Ik = 2
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