数学 A2 §7 高次偏導関数

数学 A2
§7 高次偏導関数
7.1. 高次偏導関数. z = f (x, y) の x についての偏導関数 fx が更に偏微分可能なとき, その偏導関数
∂ 2z
∂ 2z
を (fx )x = fxx =
, (fx )y = fxy =
と表す. 同様に fy の x, y についての偏導関数をそれぞれ
∂x2
∂y∂x
∂ 2z
∂z
fyx =
, fyy = 2 で表す.
∂x∂y
∂y
∂2z
∂ 2z
偏微分の順序と記法に注意. zxy =
, zyx =
∂y∂x
∂x∂y
2
2
2
2
例題 7.1. z = e3x+y とすると, zxx = 9e3x+y , zxy = 6ye3x+y , zyx = 6ye3x+y , zyy = 2(1 + 2y 2 )e3x+y
2
定理 7.2. zxy , zyx のうち一方が存在し連続であるなら, 他方も存在して zxy = zyx
3 次以上の偏導関数も同様に定義される.
2
例題 7.3. z = e3x+y に対し, zxxx =
7.2. 高次偏導関数と合成.
∂ 3z
∂3z
2
3x+y 2
=
27e
,
z
=
= 18ye3x+y
xxy
3
2
∂x
∂y∂x
{
x = a + ht
(a, b, h, k : 定数 ) とする.
y = b + kt
F (t) = f (a + ht, b + kt) とおくと, F ′ (t) = hfx (a + ht, b + kt) + kfy (a + ht, b + kt) であった.
よって F ′′ (t) = (F ′ (t))′ = h2 fxx + 2hkfxy + k 2 hyy
{
x = r cos θ
例 7.5. z = f (x, y) 全微分可能;
とすると zr = fx cos θ + fy sin θ であった.
y = r sin θ
zrr = fxx cos2 θ + 2fxy cos θ sin θ + fyy sin2 θ
例 7.4. z = f (x, y) が全微分可能,
7.3. 全微分と１次近似式. z = f (x, y) が (x, y) = (a, b) で全微分可能のとき
f (x, y) = f (a, b) + fx a, b(x − a) + fy (a, b)(y − b) + ε1 ,
lim
(x, y)→(a,
ε1
√
=0
b)
(x − a)2 + (y − b)2
つまり, 全微分は 1 次近似式と見なすことができる.
7.4. 2 次近似式. z = f (x, y) を (a, b) の近くで x, y の 2 次式 (x2 , xy, y 2 の多項式) で近似したい.
{
x = a + ht
2
2
h + k = 1 とし, 点 (a, b) を通る直線
(a, b, h, k : 定数 ) をとる.
y = b + kt
F (t) = f (a + ht, b + kt) とおくと, F ′′ (t) = (F ′ (t))′ = h2 fxx + 2hkfxy + k 2 hyy
ε2
1
また, F (t) の t = 0 における 2 次近似式は F (t) = F (0) + F ′ (0)t + F ′′ (0)t2 + ε2 , lim 2 = 0
t→0 t
2
f (a + ht, b + kt) = f (a, b) + {fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)}
1
+ {fxx (a, b)(x − a)2 + 2fxy (a, b)(x − a)(y − b) + fyy (a, b)} + ε2
2
ε2
ただし,
lim
=0
2
(x, y)→(a, b) (x − a) + (y − b)2
これを f (x, y) の (a, b) における 2 次近似式とよぶ. 3 次以上の近似, 多変数の Taylor 展開も同様
に導くことができる.
1
例題 7.6. z = ex−2y の (0, 0) における 2 次近似式は, 1 + (x − 2y) + (x2 − 4xy + 4y 2 )
2
( π)
例題 7.7. z = x tan y の 1,
における 2 次近似式は
4
(
(
(
π)
π)
π )2
1 + (x − 1) + 2 y −
+ 2(x − 1) y −
+2 y−
4
4
4

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