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２期間モデル（消費）
マクロ金融論2010
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金融取引



金融取引は、ある一時点でみれば、黒字主体（所
得＞支出）がその余剰資金を資金不足にある赤
字主体（所得＜支出）へ資金を融通する取引。
しかし、金融取引は、その一時点では終わらない。
現在を行った金融取引は、将来において元本と利
子の返済が伴う。
したがって、現在の赤字主体（所得＜支出）は、将
来には黒字主体（所得＞支出）になることを前提
に借入れを行い、現在の黒字主体（所得＞支出）
は、将来に赤字主体（所得＜支出）になれることを
前提に行動できる。
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金融取引（続）


金融取引は、現在時点の所得と将来時点
の所得とを交換する取引であり、また、現
在時点の支出と将来時点の支出を交換
する取引である。
あるいは、金融取引は、現在の資金と将
来の資金とを交換する取引である。
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3
2期間モデル


現在から将来にわたる異なる時点の間
（異時点間）における経済主体の行動を
考える。
簡単化のために、現在から将来にわたる
時間の流れを大きく2つに分けて、現在と
将来の2期間モデルで経済主体の行動を
考える。
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4
家計の経済活動

(1)
(2)


家計は、現在と将来にわたって経済活動を行う。
家計は、現在と将来にわたって所得を得る。
家計は、現在と将来にわたって消費することに
よって、現在と将来にわたる消費から得られる
効用を最大化する。
家計は、貯金や借金を行うことができる。貯金
や借金には金利が付される。
家計は、現在時点の期首で資産負債がゼロ、
将来時点の期末で資産負債がゼロと仮定する。
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現在
将来
時間
所得
所得
Y1
消費
Y2
消費
C1
貯蓄
B
（借金） 1
C2
貯蓄
（借金）
の返済
(1  r1 ) B1
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予算制約

現在時点の予算制約
Y1  C1  B1

将来時点の予算制約
Y2  (1  r1 ) B1  C2

異時点間の予算制約
C2
Y2
C1 
 Y1 
 W1
1  r1
1  r1
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C2
Y2
Y1
Y1 , C1
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C1
C1
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効用関数


現在の消費と将来の消費から効用を得る。
各時点における効用関数は同じ。効用関
数の特性は、限界効用逓減。
しかし、現在から見て、将来の効用を割引
いて、評価する（時間選好率 、割引因
子
）。
u  C2 
U  U  C1, C2   u  C1  
1 
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効用関数（限界効用逓減）
u(c)
c
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無差別曲線（効用一定の現在と将
来の消費の組合せ）
効用関数を変化分（ ）で表現すると（全微分
すると）、
du  C1 
1 du  C2 
U 
C1 
C2  0
dC1
1   dC2

無差別曲線の傾き
du  C1 
du  C1 
C2
dC1
dC1

 (1   )
du  C2 
C1
1 du  C2 
1   dC2
dC2
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C2
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C1
C1
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家計の解くべき問題

異時点間の予算制約の下で効用を最大
化するような現在と将来の消費を求める。
u  C2 
Max U  U  C1, C2   u  C1   1  
C1 ,C2
C2
Y2
subject to C1 
 Y1 
 W1
1  r1
1  r1
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ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュ方程式
u  C2 

C2
Y2 
L  u  C1  
  C1 
 Y1 

1 
1  r1
1  r1 


最大化の一階の条件
L du  C1 

  0
C1
dC1
L
1 du  C2 



0
C2 1   dC2
1  r1
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家計の異時点間の効用最大化
の一階の条件

異時点間の消費の限界代替率（無差別曲
線の傾き）＝粗利子率（予算制約線の傾
き）
du  C1 
dC1
(1   )
 (1  r1 )
du  C2 
dC2
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現在と将来の消費の関係

現在と将来の消費の関係は、利子率と時
間選好率の関係に依存する。
du  C1 
dC1
1  r1

du  C2  1  
dC2
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現在と将来の消費の関係（続）

限界効用逓減の特性から、
r1    C1  C2

 r1    C1  C2
r    C  C
1
2
1

①時間選好率が相対的に高いと、将来の消費
よりも現在の消費の方が高い。
②時間選好率が相対的に低いと、将来の消費
よりも現在の消費の方が低い。
③時間選好率と利子率が等しいと、現在から将
来にかけて消費が一定。
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例：効用関数が対数関数のとき

次の対数関数の効用関数を想定する。
du (Ct ) 1
u (Ct )  log Ct ;

dCt
Ct

効用最大化の一階の条件
du  C1 
dC1
C2 1  r1


du  C2  C1 1  
dC2
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r 
and Y1  Y2
C2
Y2 , C2
Y1 , C1
Yマクロ金融論2010
1 , C1
C1
C1
19
r 
and Y1  Y2
C2
Y2
C2
Y1
C1
Y1マクロ金融論2010
, C1
C1
C1
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r 
and Y1  Y2
C2
C2
Y2
C1
Y1
Y1 , C1
マクロ金融論2010
C1
C1
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