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2期間モデルにおける貨幣
マクロ金融論2010
1
貨幣の機能



計算単位
交換される商品の価値をある貨幣の数量で一
元的に表示する機能
交換手段
貨幣がすべての商品と交換され、すべての商品
の交換の媒介となる機能
価値貯蔵手段
貨幣が一定の価値を少なくとも一時的に蓄える
機能
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2
物々交換
米
A
欲求の二重の一致
B
本
欲求の二重の一致：お互いに手に入れたい物と手放したい物
とが一致しなければ、物々交換が成立しない。
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3
貨幣を媒介とした交換
米
A
B
おかね
おかね
おかね
自動車
本
C
貨幣が交換の媒介手段となることによって、交換が円滑化される。
4
マクロ金融論2010
交換のタイミング
物々交換
本
米
売り買い
貨幣を媒介とした交換
本
おかね
売り
買い
米
｢売り｣と｢買い｣が分離可能⇒・交換が容易となる
・交換手段の価値貯蔵が重要
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マクロ経済モデルへの貨幣の導入



Cash-in-advance model←交換手段
支出の前に現金を保有
Money in the utility model←交換手段
効用関数に貨幣残高を含める
Overlapping generation model←価値貯蔵手段
世代間の資産移転としての貨幣
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Cash-in-advance model

消費支出の一部（  ）は貨幣で支払う必
要がある。そのため、消費支出の前に貨
幣残高を保有する。
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予算制約(1)

現在時点の予算制約（名目値）
M1  B1  P1 y1  i1 B1  Pc
1 1
M1 B1
i1B1

 y1 
 c1
P1
P1
P1

 M1  M1 P1

m



 1


P1
P1
 P1 


 b1    B1   B1  P1

P1
 P1  P1

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
M1 M1

  1m1 
P1
P1


B1 B1

  1b1 
P1
P1

8
予算制約(2)
現在時点の予算制約（実質値）
(m1   1m1 )  (b1  1b1 )  y1  i1b1  c1
m1  b1  y1  (i1  1 )b1  c1  1m1

(m2  m1 )  (b2  b1 )  y1  rb
1 1  c1  (i1  r1 )m1
m2  b2  (1  r1 )(m1  b1 )  y1  c1  i1m1

将来時点の予算制約（実質値）
m3  b3  (1  r2 )(m2  b2 )  y2  c2  i2m2
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予算制約(3)

異時点間の予算制約
m3  b3
y2  c2  i2 m2
y1  c1  i1m1 
 (1  r1 )(m1  b1 ) 
1  r2
1  r2
From no-Ponzi game condition ( b3  0 )
y2  c2  i2 m2
y1  c1  i1m1 
 (1  r1 )(m1  b1 )  0
1  r2
c2
y2
i2 m2
c1 
 y1 
 (1  r1 )(m1  b1 )  i1m1 
(1)
1  r2
1  r2
1  r2
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予算制約(4)

貨幣を保有する時には､予算制約の中に
所得を減少させる要因として、実質貨幣
残高が加わる。インフレによる実質貨幣残
高の目減りだけ、消費に利用できる所得
を減少させる（＝貨幣保有の費用）。
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家計の最適化（効用最大化）

家計は効用を最大化する。

その際の制約条件：
異時点間の予算制約式(1)
Cash-in-advance制約
m1   c1
(1)
(2)
U  c1 , c2 
m2   c2
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ラグランジュの未定乗数法(1)

ラグランジュ方程式
L  U  c1 , c2 

c2
y2
i2 m2 
 1 c1 
 y1 
 (1  r1 )(m1  b1 )  i1m1 

1  r2
1  r2
1  r2 

 2  c1  m1  3  c2  m2 
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ラグランジュの未定乗数法(2)

一階の条件
L U

 1  2  0
c1 c1
L U
1


 3  0
c2 c2 1  r2
L
 1 ( 1  1)  2  0
m1
L
i2
 1
 3  0
m2
1  r2
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最適な消費水準

異時点間の消費の限界代替率
U c1
1   ( 1  1)
 (1  r2 )
U c2
1   (r2   2 )

もしあらかじめ貨幣を保有する必要がな
ければ（  0）
U c1
 (1  r2 )
U c2
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消費の時間経路
log c2
 （仮定） U  c1 , c2   log c1 
1 
U c1 c2 (1   )
1   ( 1  1)

 (1  r2 )
U c2
c1
1   (r2   2 )
c2 1  r2 1   ( 1  1)

c1 1   1   (r2   2 )

 の上昇⇒
c2 c1の低下：非対称的効果
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貨幣需要

最適な実質貨幣残高
ラグランジュ方程式の一階の条件
（L 2   c1  m1  0, L 3   c2  m2  0
）より
m1   c1
m2   c2
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Money in the utility model

貨幣の交換手段としての機能は、物々交
換に比べて、取引相手を捜す時間を節約
する。このことによって余暇の時間を増加
するので、効用が増加する。
U  c1, c2 , m1, m2 
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家計の最適化行動

家計は次の効用関数を最大化する。
U  c1, c2 , m1, m2 

(1)
その際の制約条件：
異時点間の予算制約式(1)
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ラグランジュの未定乗数法(1)

ラグランジュ方程式
L  U  c1 , c2 , m1 , m2 

c2
y2
i2 m2 
 1 c1 
 y1 
 (1  r1 )(m1  b1 )  i1m1 

1  r2
1  r2
1  r2 

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ラグランジュの未定乗数法(2)

一階の条件
L U

 1  0
c1 c1
L U
1


0
c2 c2 1  r2
L U

 1 ( 1  1)  0
m1 m1
L
U
i2

 1
0
m2 m2
1  r2
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最適な消費水準・実質貨幣残高

最適な消費経路
U c1
 (1  r2 )
U c2

最適な実質貨幣残高
U
U
U
U
m1
 1 1
c1
m2
 r2   2
c2
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効用関数の特定化

効用関数：

U  c1 , c2 , m1 , m2   log c
1 
1
m1



1 
2
log c
m2


1 
但し、  ：消費と比較した貨幣の効用への貢献度
U c1  (1   ) c1
U c2  (1   ) c2 (1   )
U m1   m1
U m2   m2 (1   )
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最適な消費経路

最適な消費経路
c2 1  r2

c1 1  
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貨幣需要

最適な実質貨幣残高

m1 
c1
(1   )( 1  1)

m2 
c2
(1   )(r2   2 )



under CIA
m1   c1
m2   c2
インフレ率↑⇒貨幣需要↓
利子率↑⇒貨幣需要↓
貨幣の効用への貢献度↑⇒貨幣需要↑
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