2016年度実解析第一・第二配布問題 (第9回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 9 回)
∫
(
√
x )t2 −tx
1(−t,∞) (x) 1 +
e m1 (dx) = 2π を，以下の手順に従って示せ:
t→∞ R
t
(
x )t2 −tx
2
(a) (1) lim 1 +
e
= e−x /2 を示せ．
t→∞
t
(
x )t2 −tx
2
(2) t ≥ 1 とする．x < 0 のとき 1(−t,∞) (x) 1 +
e
≤ e−x /2 , x ≥ 0 のとき
t
(
x )t2 −tx
−x
1+
e
≤ (1 + x)e が成り立つことを示せ．
t
(b) 結論の式を示せ．
102 lim
103 Γ : (0, ∞) → R を Gamma 関数とする．前問の結果を用いて以下を示せ：
Γ(t + 1)
lim √
= 1.
2πtt+1/2 e−t
t→∞
104 ν : Ĩ1 → [0, ∞] (Ĩ1 は 100 のもの) を，ν((a, b] ∩ R) = b − a で定める．ν̂, ν̂ ′ : 2R → [0, ∞] を
{
}
∑
∪
ν̂(A) := inf
ν(An ) An ∈ Ĩ1 , A ⊂
An ,
n∈N
n∈N
{ N
}
N
∑
∪
ν̂ ′ (A) := inf
ν(An ) An ∈ Ĩ1 , A ⊂
An , N ∈ N
n=1
n=1
とする．ν̂(Q ∩ [0, 1]) および ν̂ ′ (Q ∩ [0, 1]) を求めよ．
105 ν を X 上の外測度とし，Mν を Carathéodory ν-可測集合の成す集合族とする．(X, Mν , ν) は完
備な測度空間になることを示せ．
106 G を半加法族とし，ν : G → [0, ∞] は可算加法的，すなわち，「An ∈ G (n ∈ N) が互いに素で，
∞
∪
∑
A=
An ∈ G のとき ν(A) =
ν(An )」が成り立つとする．ν̂ : 2X → [0, ∞] を次で定める：
n=1
n∈N
ν̂(A) := inf
{
∑
}
∪
ν(An ) An ∈ G, A ⊂
An .
n∈N
(a) 各 B ⊂ X に対し ν̂(B) =
inf
A∈σ(G),B⊂A
n∈N
ν̂(A) を示せ．
(b) 各 B ⊂ A に対して，B ⊂ A かつ ν̂(B) = ν̂(A) なる A ∈ σ(G) が存在することを示せ．
107 G ，ν を前問の通りとする．外測度 ν̂ に対する Caratheodory 可測集合族を Gν̂ とし，ν̂ を σ(G)
ν∗
上に制限して得られる測度を ν∗ とおく (注： 37 と 105 より，(X, Gν̂ , ν̂) は (X, σ(G) , ν̄∗ ) の拡
ν∗
張になる)．ν が G 上で σ-有限であれば，σ(G) = Gν̂ となることを示せ．
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108 (X, d) を距離空間とする．A ⊂ X に対して，diam(A) := sup d(x, y) と定める (これを，A の
x,y∈A
直径 (diameter) という)．δ > 0, α > 0 に対して，
}
{ ∞
∞
∪
∑
Hδα (A) := inf
Bn
diam(Bn )α 各 n ∈ N で Bn は開距離球, diam(Bn ) ≤ δ, A ⊂
n=1
n=1
と定め，Hα (A) = limδ↓0 Hδα (A) とおく (Hα を α 次元 Hausdorﬀ 外測度という)．
(a) Hα を定義する極限が存在し，Hα が外測度になることを示せ．
(b)* A ⊂ X とする．ある α0 ∈ [0, ∞] で，
各 α > α0 で Hα (A) = 0，かつ，各 α < α0 で Hα (A) = ∞
なるものが存在することを示せ (α0 を集合 A の Hausdorﬀ 次元といい，dimH A と書く)．
(c)* Rn に標準距離を考え距離空間とみなす．dimH Rn = n を示せ．
(Hn は Lebesgue 外測度と定数倍の違いを除いて一致することが知られている)
109 (X, d) は距離空間とし，F = B(X) とする．x ∈ X, r ≥ 0 に対し Br (x) := {y ∈ X | d(x, y) ≤ r}
とおく．「各 x ∈ X, r > 0 で µ(Br (x)) > 0」および「sup µ(Br (x)) < ∞」が成り立つとする．
x∈X
r≤1
また，ある C > 0 で，各 x ∈ X, r > 0 で
µ(B2r (x))) ≤ Cµ(Br (x))
をみたすものが存在すると仮定する (これを volume doubling condition という)．
(a) ある α > 0, C1 > 0 により，各 x ∈ X, r ≥ 1 で µ(Br (x)) ≤ C1 rα が成り立つことを示せ．
(b) N ∈ N, δ > 0, A ⊂ X について，{xi }N
n=1 ⊂ A が各 i ̸= j で d(xi , xj ) ≥ δ をみたすと
き，これを A の (N, δ)-網と呼ぶことにする．δ と r を固定したとき，ある N0 ∈ N で，
「各
N ≥ N0 , x ∈ X で Br (x) の (N, δ)-網は存在しない」が成り立つものがあることを示せ．
(c) X が局所コンパクトである (すなわち，各 x ∈ X に対して，x のコンパクトな近傍が存在
する) ことを示せ．
110 X = Rn ，d を標準的な Euclid 距離，µ = mn とすれば 109 の仮定をみたすことを示せ．
111 Volume doubling condition をみたさない σ-有限測度の例を挙げよ．
112 A ∈ B(R), m1 (A) = 0 とする．Ac は R で稠密なことを示せ．
113 可測関数列 (fn )n∈N が g, h にそれぞれ測度収束しているとする．g = h a.e. を示せ．
∫
1 π
114 各 n ∈ N ∪ {0} に対し，Jn (x) :=
cos(nt − x sin t)dt とおく．Jn が (少なくとも)C 2 -級であ
π 0
ること，および，各 x ∈ R で x2 Jn′′ (x) + xJn′ (x) + (x2 − n2 )Jn (x) = 0 を示せ．
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