2016年度実解析第一・第二配布問題 (第10回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 10 回)
115 S ⊂ {f | f : X → R, f は有界可測 } とする．また，次をみたすとする．
(i) S は R 上のベクトル空間 (関数の加法とスカラー倍は自然に定義)．
(ii) 1 ∈ S
(iii) fn ∈ S (n ∈ N), fn ≥ 0 かつ fn ≤ fn+1 (∀ n ∈ N) で，f = lim fn が有界ならば f ∈ S ．
n→∞
C ⊂ F を π-系で，σ(C) = F とする．{1A | A ∈ C} ⊂ S のとき，次を示せ：
S = {f | f : X → R, f は有界可測 }.
∫
116 (R, B(R)) 上の有限測度 µ1 , µ2 について，
「任意の有界連続関数 f : R → R に対して， f dµ1 =
X
∫
f dµ2 」が成り立つとする．µ1 = µ2 を示せ．
X
117 x ∈ Rd とし，φx : Rd → Rd を φx (y) := x + y で定める．
(1) 各 A ∈ Id で ((φx )♯ md )(A) = md (A) を示せ (記号は 55 参照)．
(2) md = (φx )♯ md を示せ．
(注：(2) は，
「md の平行移動不変性」を意味する ( 56 参照； 56 では，もし平行移動不変な測度
が存在すれば md に一致すると言っているだけで，それが存在することは主張していない．存
在すると示せれば， 56 を経由して md は平行移動不変と分かる))
118 α ∈ R, i = 1, . . . , d に対して φi,α : Rd → Rd を φi,α (x1 , . . . , xd ) の第 j 成分が j ̸= i のとき xj ，
j = i のとき αxj なるよう定める．また，ψi,j,α : Rd → Rd を ψi,j,α (x1 , . . . , xd ) の第 k 成分が
xk + αδkj xi なるよう定める (δij は Kronecker のデルタ)．
(a) α ̸= 0 のとき，(φi,α )♯ md = |α|−1 md を示せ．
(b) (ψi,,j,α )♯ md = md を示せ．
(c) f : Rd → Rd を可逆な線形変換とする．f♯ md = | det f |−1 md を示せ．
119 * A ⊂ F を半加法族で，F = σ(A) とする．また，µ を A 上で σ-有限な測度とする．E ∈ F が
µ(E) < ∞ をみたすとき，各 ε > 0 に対し，n ∈ N, Ai ∈ A (i = 1, . . . , n) で,
(
(n
))
∪
µ E△
Ai
<ε
i=1
をみたすものが存在することを示せ．
120
(1) 各 A ∈ Id で， lim |md (x + A) − md (A)| = 0 を示せ (x + A の定義は 40 参照)．
x→0
(2) A ∈ B(R ) が md (A) < ∞ をみたすとき， lim |md (x + A) − md (A)| = 0 を示せ．
d
x→0
∫
121 f : Rd → R を，md -可積分な関数とする． lim
y→0
20
Rd
|f (x + y) − f (x)|md (dx) = 0 を示せ．
122
(1) µ は F 上で σ-有限とする．En ∈ F で，(En )n∈N は X の分割，かつ，各 n ∈ N で µ(En ) < ∞
となるものが存在することを示せ．
(2) σ-有限ではない測度の例を挙げよ．
123 (X, d) を距離空間，F = B(X) とする．
(a) µ を有限測度とする．以下で定める D が X 上の Dynkin 族になることを示せ：
{
}
各 ε > 0 に対し F ⊂ A ⊂ G と µ(G \ F ) < ε
D := A ∈ B(X) をみたす開集合 G，閉集合 F が存在する．
(注：実際には可算加法族になる；これを示してもよい)
(b) µ を有限測度とする．B(X) = D を示せ．
(c) µ を σ-有限測度とする．B(X) = D を示せ (これを解いたのちは，(b) は無効とする)．
(d) 任意の ε > 0 と B(X)-可測な有界関数 f : X → R に対し，連続関数 g : X → R で，
µ(|f − g| > ε) < ε をみたすものが存在することを示せ (Urysohn の補題は用いてよい)．
124 A ∈ B(Rd ) とし，0 < md (A) < ∞ とする．このとき，0 < a < md (A) をみたす任意の a に対し
て，md (K) = a かつ K ⊂ A となるコンパクト集合が存在することを示せ．
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