2 4月21日

4 月 21 日
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2.1
授業のまとめ
定義 2.1 R を環とする.
1. c ∈ R が R の可逆元とは, cc′ = c′ c = 1 なる c′ ∈ R が存在することをいう.
2. v ∈ R が R の零因子とは, uv = 0 または vu = 0 なる u ∈ R, u ̸= 0 が存在することをいう.
定義 2.2
1. 可換環 R が整域であるとは, R に 0 以外の零因子が存在しないことをいう.
2. 可換環 R が体であるとは, 0 以外の任意の R の元が可逆元であることをいう.
2.2
宿題
宿題 2.1 以下を示せ.
1. 零因子かつ可逆元であるような元はない.
2. x が R の可逆元 ⇔ xR = R. 但し, xR は, R の部分集合 xR = {ax | a ∈ R} とする．
宿題 2.2
Z の零因子と可逆元は何か．
Q[X] の零因子と可逆元は何か．
2 次実行列のなす環 M2 (R) の零因子と可逆元は何か．
宿題 2.3 自然数 n に対し Z/nZ において, 以下の問いに答えよ.
1. m が可逆元となる必要十分条件は何か.
2. m が零因子となる必要十分条件は何か.
宿題 2.4 自然数 n に対し Z/nZ について, 以下に答えよ.
1. Z/nZ が体となるための必要十分条件は何か.
2. Z/nZ が整域でないための必要十分条件は何か.
宿題 2.5 a1 , · · · , an ∈ Z に対し，Z の部分集合
(a1 , · · · , an ) = {x1 a1 + · · · + xn an | x1 , · · · , xn ∈ Z}
を a1 , · · · , an の Z のリニア・スパンと呼ぶ．以下の問いに答えよ.
1. a1 , · · · , an ∈ Z に対し，次を示せ.
(1) x, y ∈ (a1 , · · · , an ) なら x + y ∈ (a1 , · · · , an ).
(2) x ∈ (a1 , · · · , an ), a ∈ Z なら ax ∈ (a1 , · · · , an ).
2. 整数 α, β, a, b について α, β ∈ (a, b) ならば (α, β) ⊂ (a, b) を示せ.
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