解析学特論 III 小試験問題平成 26 年 6 月 19 日 (木) (X, F, µ) を測度空間とする. f, fn , g はその上の可測関数とする. ∫ 1 1. (1) 任意の ε > 0 と 1 ≤ p < ∞ に対し, µ(|f | ≥ ε) ≤ p |f |p dµ. を示せ. ε X (2) 次の (a) を示すには, (b) を示せば十分であることを説明し, (b) を証明せよ. (ヒント p = ∞ とそれ以外で分ける.) (a) 1 ≤ p ≤ ∞ とする. fn → f in Lp , fn → g in Lp , なら f = g, µ-a.e. (b) fn → f in µ, fn → g in µ, なら f = g, µ-a.e. 但し, def fn → f in Lp ⇐⇒ ∥f − fn ∥pp = def fn → f in µ ⇐⇒ ∀ ∫ X |f − fn |p dµ → 0 (n → ∞). ε > 0, µ(|fn − f | ≥ ε) → 0 (n → ∞). ′ 2. µ(X) < ∞ のとき, 1 ≤ p < p′ < ∞ に対し, Lp (X) ⊂ Lp (X) が成り立つことを, 次の不等式を示し, 証明せよ. (∫ ∫ |f | dµ ≤ p X )p/p′ ′ ′ |f | dµ µ(X)1−p/p , i.e., ∥f ∥p ≤ µ(X)1/p−1/p ∥f ∥p′ p′ X 以下, (X, F, µ) = (R, B, dx) を 1 次元ルベーグ測度空間とする. 3. 1 ≤ p < ∞ とする. f ∈ Lp なら fn := f 1[−n,n] に対し, fn → f in Lp を証明せよ. 4. L1 関数 f (x) の Fourier 変換 Ff (z) ≡ fb(z) の定義を述べ, a, b ∈ R を定数として, h(x) = f (−x), f (x + a), eibx f (x) それぞれの Fourier 変換が b h(z) = fb(z), eiaz fb(z), fb(z − b) となることを示せ. 5. L2 関数の Fourier 変換は, 一般に, 上のようには定義出来ないが, その理由と, さらに, このときの定義の仕方を簡潔に説明せよ. 試験を受けていない人で、成績を上げたい人は、以下の問題で、解けるものを、追加で、できるだけ、完璧に解いて提出して下さい。但し、単位が欲しいだけの人は、小テストの問題だけで、十分です。 ∫ 1 −x2 /(2t) 問 1 Gauss 核 gt (x) := √ e に対し, ft (θ) := eθzx gt (x)dx が θ ∈ C の 2πt R 正則関数であることを示せ. ( t = 1/2 として θ ∈ C について微分できることを示す.) ∫ ∞ √ 2 e−x dx = π を示し, 上の gt に対し, 問 2 重積分の極座標変換を用いて −∞ ∫ gt (x)dx = 1 を確かめよ. R 問 3 ε > 0 に対し, ρε (x) := (C/ε) exp[−1/(1 − x2 /ε2 )] if |x| < ε, ρε (x) := 0 if ∫ |x| ≥ ε とおくと ρε ∈ Cc∞ で, ρε ≥ 0, ρε dx = 1, supp ρε = [−ε, ε] をみたすことを示せ. R この ρε をフリードリクス (Friedrichs) の軟化子という. 問 4 ε > 0 に対し, ρε を上の条件をみたすフリードリクスの軟化子とする. f ∈ L1 なら, fε := f ∗ ρε ∈ C ∞ となることを簡略に説明し, fε → f in L1 (ε ↓ 0) が成り立つことを示せ. 特に f の台 supp f が有界なら fε ∈ Cc∞ となることを示せ. 講義で述べた次の結果を用いる. (命題 3.2 の証明をみよ！ ) ∫ |f (x + h) − f (x)|p dx = 0. 定理 3.2 1 ≤ p < ∞ とする. f ∈ Lp なら lim h→0 2 R