TD 2 ondes mécaniques - classe de pc

PC - Lyc´ee Dumont D’Urville
TD 2 ondes m´ecaniques
I. Pour appliquer le cours
1. Ecrire les surpressions associ´ees aux ondes de vitesse pour un son qui se propage `a la vitesse c dans un
milieu de masse volumique ρ0 :
V1 (x, t) = Vm cos(ωt + kx)
V2 (y, t) = Va cos(ωt − kx) + Vb cos(ωt + kx)
V3 (x, t) = Vm sin(kx − ωt)
V4 (x, t) = Vm cos(ωt) sin(kx)
2. Ecrire les vitesses associ´ees aux ondes de surpression pour un son qui se propage `a la vitesse c dans un
milieu de masse volumique ρ0 :
p1 (x, t) = pm sin(ωt + kx)
p2 (y, t) = pa sin(ωt + kx) + pb cos(ωt + kx)
p3 (x, t) = pm cos(ωt) cos(kx)
3. Calculer la vitesse de propagation du son dans l’air de masse molaire M = 29 g/mol avec γ = 1, 4 pour
une temp´erature de 400 C.
4. On consid`ere deux tuyaux de longueur L, le premier est ouvert des deux cotes et le second est ouvert
d’un cot´e et ferm´e de l’autre. Repr´esenter les ondes de surpression et de vitesse dans le mode fondamental.
Lequel de ces deux tuyaux ´emet un son `
a l’octave sup´erieure (une octave est un intervalle de fr´equence de
la forme [f0 , 2f0 ])?
5. Un tube de Kundt (compos´e d’un haut-parleur `a une extr´emit´e et d’un microphone `a l’autre extr´emit´e)
permet d’obtenir un syst`eme d’ondes stationnaires. On d´eplace le micro de L = 51, 5 ± 1 cm entre 7 noeuds
cons´ecutifs dans l’air `
a 200 C. La fr´equence d’´emission du haut-parleur est f = 2000 ± 5 Hz. En d´eduire la
vitesse du son dans l’air en pr´ecisant l’incertitude relative et absolue de la mesure.
6. En un point de l’espace, on re¸coit deux sons, l’un de niveau acoustique 80 dB et l’autre de niveau
acoustique 60 dB. On suppose que les intensit´es acoustiques s’additionnent.
Calculer le niveau acoustique r´esultant (en dB). Commentaire.
7. On re¸coit deux sons de mˆeme niveau acoustique L (en dB). Que peut-on dire du niveau acoustique L′
(en dB) du son r´esultant? Calculer L′ pour L = 60 dB.
8. On consid`ere une onde sonore plane harmonique progressive ( fr´equence f) d’intensit´e I qui se propage
dans l’air dont les caract´eristiques au repos sont : T0 = 293 K, P0 = 1 bar. M = 29 g/mol et γ = 1, 4.
D´eterminer la surpression maximale au passage de l’onde pour une fr´equence f = 1000 Hz et une intensit´e
I = 10−2 W/m2 . L’approximation acoustique est elle justifi´ee ?
9. On consid`ere une onde sonore plane harmonique progressive ( fr´equence f) d’intensit´e I qui se propage
dans l’air . Les caract´eristiques de l’air au repos : T0 = 293 K , P0 = 1 bar , M = 29 g/mol , et γ = 1, 4.
Quelle est la temp´erature maximale de l’air au passage de l’onde sonore pour une fr´equence f = 2000 Hz et
une intensit´e I = 1 W/m2 . L’approximation acoustique est elle justifi´ee ?
10. Une explosion ´emet un son de puissance acoustique estim´ee `a 12, 5 W . On suppose les ondes sonores
de forme sph´erique.
10.a. Calculer l’intensit´e acoustique (en W/m2 ) `a une distance de 100 m`etres. V´erifier que le niveau
acoustique correspondant est de 80 d´ecibels.
10.b.
A quelle distance le niveau acoustique est-il de 60 dB ?
1
10.c. En r´ealit´e, le niveau acoustique est plus faible `a cause du ph´enom`ene d’absorption du son par
l’air (environ 1 dB/km). Calculer le niveau acoustique r´eel `a un kilom`etre de l’explosion.
10.d. L’explosion est consid´er´ee comme audible tant que son niveau est sup´erieur `a 30 dB. Jusqu’`a
quelle distance peut-on entendre l’explosion ?
11. Sur le trottoir `
a une intersection, vous percevez une fr´equence de 510 Hz provenant de la sir`ene d’une
voiture de police qui s’approche. Apr`es le passage de la voiture, vous ne percevez plus le son de la sir`ene
qu’`a une fr´equence de 430 Hz. D´eterminer la vitesse de la voiture de police (en m/s puis en km/h) d’apr`es
ces observations. Quelle est la fr´equence de la sir`ene ?
II. Influence de la viscosit´
e
On ´etudie la propagation du son dans un fluide de masse volumique ρ0 au repos et de compressibilit´e
isentropique χs . On tient compte ici des effets de la viscosit´e du fluide en ajoutant la force volumique
4 ∂2v −
−
→
→
fv = η 2 Ux
3 ∂x
o`
u Ox est la direction de propagation.
1. η d´esigne la viscosit´e du fluide, pr´eciser son unit´e.
2. On consid`ere le volume ´el´ementaire de fluide au repos compris entre les abscisses x et x+ dx et de section
S. Dans le milieu perturb´e, les tranches de fluide en x et x + dx se sont d´eplac´es de ξ(x, t) et ξ(x + dx, t) `a
l’instant t. On note p(x, t) et V (x, t), la surpression et la vitesse de la tranche de fluide en x `a l’instant t.
On n´eglige les effets de la pesanteur.
2.a. Appliquer la RFD au volume ´el´ementaire de fluide consid´er´e et en d´eduire l’´equation reliant
∂v ∂p
∂2v
.
,
, ρ0 , η et
∂t ∂x
∂x2
1 ∂ξ
2.b. Montrer que p(x, t) = −
.
χs ∂x
2.c.
En d´eduire l’´equation de propagation
sa signification.
1 ∂ 2v
4η ∂ 3 v
∂2v
−
+
= 0. Exprimer c et donner
∂x2 c2 ∂t2
3ρ0 c2 ∂x2 ∂t
3. On suppose que la vitesse particulaire a une repr´esentation complexe de la forme v = v0 ej(ωt−kx) .
3.a.
Montrer que la relation de dispersion s’´ecrit k 2 =
ω2
c2
4ηω
1 + j 3ρ
2
0c
.
On ´etudie la propagation du son dans l’air `a 300 K sous 1 atm pour une fr´equence de 1 kHz.
7
On donne M = 29 g/mol et η(air) = 2.10−5 SI. L’air est assimil´e `a un GP diatomique (γ = ). Calculer c
5
4ηω
.
et ρ puis
3ρ0 c2
3.c. L’effet de la viscosit´e et tr`es faible. Donner l’expression approch´ee de k en faisant un DL `a
l’ordre 1 en η (concr`etement il faut utiliser (1 + ǫ)α = 1 + αǫ pour ǫ petit). En d´eduire l’expression de v(x, t)
sous la forme v0 e−x/δ cos(ωt − k ′ x). Exprimer δ et k ′ et interpr´eter l’expression de v(x, t).
3.b.
3.d.
`a 20 kHz.
AN calculer les longueurs caract´eristiques sur lesquelles le son dans l’air est amorti `a 20 Hz et
ω
∂p
4 ∂2V
2ηω
∂v
),
=−
+ η 2 , 3b- c = 348 m/s et ρ0 = 1, 18 kg/m3 , 3c- k = (1 − j
∂t
∂x
3 ∂x
c
3ρ0 c2
3
ω
3ρ0 c
k′ =
et δ =
c
2ηω 2
R´eponses : 2a- ρ0
2
III. Utilisation de l’intensit´
e acoustique
Soit une onde acoustique plane qui se propage dans l’eau avec une vitesse de 1480m/s. Elle v´ehicule une
puissance moyenne de 1 W uniform´ement r´epartie sur une section circulaire de 40 cm de diam`etre, normale
`a la direction de propagation. La fr´equence de l’onde est ´egale `a 24 kHz.
1. Calculer l’intensit´e acoustique; quel est en dB le niveau de l’intensit´e acoustique relativement `a un niveau
de r´ef´erence 10−12 W/m2 qui correspond `
a un seuil `a peine audible?
2. Calculer l’amplitude de la pression acoustique, l’amplitude de la vitesse de particules et l’amplitude du
d´eplacement de particules.
3. Comparer aux r´esultats que l’on aurait obtenus si cette onde se propageait dans l’air.
IV. Discontinuit´
e entre deux milieux : transmission et r´
eflexion des ondes sonores
On ´etudie la propagation d’une onde plane progressive harmonique suivant les x croissants. Le plan x = 0
ρ2 c 2
.
s´epare les deux milieux d’imp´edances caract´eristiques ρ1 c1 et ρ2 c2 . On note α =
ρ1 c 1
milieu 1
milieu 2
ρ1,C1
ρ2,C2
onde incidente
onde transmise
onde reflechie
Ox
x=0
On ´ecrit la surpression de l’onde incidente pi = p0 ej(ωt−k1 x) . On note les coefficients de r´eflexion et de
pt (0, t)
pr (0, t)
et t =
.
transmission pour la surpression r =
pi (0, t)
pi (0, t)
1. Ecrire les surpressions pr et pt , associ´ees aux ondes r´efl´echie et transmise. Ecrire ´egalement les vitesses
particulaires V i , V r , et V t .
2. Quelles relations peut-on ´ecrire en x = 0? En d´eduire les expressions de r et de t en fonction de α.
3. Ecrire les intensit´es acoustiques moyennes Ii , Ir et It li´ees `a chaque onde. On d´efinit les coefficients de
It
|Ir |
et T = . Exprimer R et T en fonction de α.
r´eflexion R et de transmission T en ´energie par R =
Ii
Ii
V´erifier que R + T = 1. Que traduit cette ´egalit´e?
4. On consid`ere le cas o`
u α << 1 (r´eflexion sur une surface souple). Calculer r, t, R et T .
AN : calculer T en d´ecibel (soit TdB = 10 log T ) pour l’interface cuivre (ρ = 8, 96.103 kg/m3 et c = 1500 m/s)
- air (ρ = 1, 2 kg/m3 et c = 340 m/s). Donner pour x < 0, les expressions de p(x, t) et V (x, t). Commenter.
5. On consid`ere le cas o`
u α >> 1 (r´eflexion sur une surface dure). Calculer r, t, R et T .
AN : calculer T en d´ecibel (soit TdB = 10 log T ) pour l’interface air (ρ = 1, 2 kg/m3 et c = 340 m/s) - eau
(ρ = 103 kg/m3 et c = 1400 m/s). Donner pour x < 0, les expressions de p(x, t) et V (x, t). Commenter.
3
V. Adaptation d’imp´
edance
1. Les imp´edances caract´eristiques des muscles et de l’air pour les ondes sonores utilis´ees en ´echographie
valent Za = 440 SI et Zm = 1, 7.106 SI.
1.a.
Pr´eciser les unit´es des imp´edances.
On rappelle les coefficients de transmission et de r´eflexion en puissance des ondes sonores d’un
Z1 − Z2 2
4Z1 Z2
et R = (
) . Calculer les
milieu d’imp´edance Z1 vers le milieu d’imp´edance Z2 : T =
(Z1 + Z2 )2
Z1 + Z2
coefficients R et T pour une interface air-muscle. Conclure.
1.b.
2. Pour supprimer l’onde r´efl´echie dans l’air, on utilise un gel comme contact entre l’appareil et la peau.
Ce gel permet de r´ealiser une couche anti-reflet d’´epaisseur e et d’imp´edance Zg . On note Ca , Cg et Cm , les
vitesses des ondes dans l’air, dans le gel et dans le muscle et ka , kg et km les vecteurs d’onde associ´es.
On cherche des solutions complexes sous la forme:
V a = Aa ej(ωt−ka x)
air
gel
muscle
Za
Zg
Zm
V g = Ag ej(ωt−kg x) + Bg ej(ωt+kg x)
0
e
Ox
V m = Am ej(ωt−km x)
2.a.
Ecrire les surpressions dans les trois milieux en utilisant les imp´edances Za , Zg et Zm .
2.b. Ecrire la continuit´e de la surpression aux interfaces et la continuit´e du d´ebit volumique S.V
aux interfaces.
(Zg − Za )(Zg + Zm )
= e−2jkg e . Quelles valeurs
2.c. La r´esolution du syst`eme d’´equations donne
(Zg + Za )(Zg − Zm )
faut-il choisir pour e et Zg afin d’avoir la meilleure transmission possible?
VI. Propagation dans un tuyau de section variable
onde
incidente
section
S2>S1
section
S1
onde
transmise
onde
reflechie
Ox
x=0
On note la surpression de l’onde incidente en repr´esentation complexe pi = p0 ej(ωt−kx) . Les amplitudes des
ondes de surpression r´efl´echie et transmise sont respectivement: rp0 et tp0 .
1. Exprimer les surpressions pr et pt
2. En d´eduire les vitesses v i , v r et v t en fonction de ρ0 , cs , p0 , r, t, ω, t, k et x.
3. Ecrire la continuit´e de la surpression en x = 0, en d´eduire une premi`ere ´equation entre r et t.
4. Ecrire la continuit´e du d´ebit volumique en x = 0 (le d´ebit volumique est le produit de la section par la
vitesse particulaire soit S.v). En d´eduire une seconde ´equation entre r et t.
5. En d´eduire r et t en fonction de S1 et S2 .
|Pt |
|Pr |
et T =
.
Pi
Pi
Exprimer les coefficients de r´eflexion R et de transmission T en puissance. V´erifier que R + T = 1. Que
traduit cette ´egalit´e?
6. On d´efinit les coefficients de r´eflexion et de transmission en puissance par R =
7. Commenter les cas : S1 = S2 , S1 << S2 et S1 >> S2 .
8. Pourquoi la trompette poss`ede-t-elle un pavillon?
R´eponses : r =
S1 − S2
2S1
S1 − S2 2
4S1 S2
et t =
,R=(
) et T =
S1 + S2
S2 + S1
S1 + S2
S1 + S2
4
VII. Isolation phonique
On souhaite ´etudier l’att´enuation sonore r´esultant de la travers´ee d’une vitre d’´epaisseur e, d’aire S et
constitu´ee de masse volumique ρv . L’onde sonore se propage `a la c´el´erit´e cs dans l’air de masse volumique
ρ0 au repos.
e
onde
incidente
onde
transmise
onde
reflechie
vitre
L’onde est partiellement r´efl´echie sur la vitre alors qu’un onde est transmise et se propage dans l’air apr`es
travers´ee de la vitre. On note les vitesses en repr´esentation complexe:
V i = Aej(ωt−kx) pour x < 0
V r = Bej(ωt+kx) pour x < 0
V t = Dej(ωt−kx+ke) pour x > e
1. Ecrire les surpressions complexes pi , pr et pt associ´ees aux ondes incidente, r´efl´echie et transmise.
2. On consid`ere que la vitre se comporte comme un solide. Elle est donc ind´eformable mais susceptible de
se d´eplacer.
2.a.
Montrer que A + B = D.
2.b. Exprimer l’acc´el´eration de la vitre de deux fa¸cons diff´erentes : en fonction de j, ω, A et B ou
en fonction de j, ω, et D.
2.c.
2.d.
Appliquer la RFD `
a la portion de vitre de surface S et en d´eduire que jωρv eD = 2ρ0 cs (A − D).
1
D
=
En d´eduire que
ωρv e .
A
1 + j 2ρ
0 cs
2.e. Exprimer le coefficient de transmission en puissance T . Calculer T `a BF et `a HF. En d´eduire
la nature du filtre ainsi constitu´e.
2.f. D´eterminer l’att´enuation en d´ecibel (10 logT ) obtenue pour une vitre d’´epaisseur e = 2 cm, de
masse volumique ρv = 2 000 kg.m−3 `
a une fr´equence de 100 Hz, puis de 1 kHz. La masse volumique de
l’air est ρ0 = 1, 3 kg.m−3 et la c´el´erit´e du son cs = 340 m/s.
R´eponses : 1- p = ρ0 cs v pour une OP P H + et p = −ρ0 cs v pour une OP P H − , 2a- continuit´e de la vitesse
1
v(0, t) = vi (0, t) + vr (0, t) = vt (0, t), 2e- T =
ρv eω 2 , filtre passe-bas
1 + ( 2ρ
)
0 cs
VIII. Onde acoustique dans un pavillon sonore
On consid`ere un pavillon de r´evolution `
a section circulaire variable not´ee S(x). A l’´equilibre, la tranche de
fluide comprise entre x et x + dx a une masse volumique ρ0 et une pression P0 . A l’instant t cette mˆeme
tranche de fluide est comprise entre les x + ξ(x, t) et x + dx + ξ(x + dx, t). On note p(x, t) la surpression,
p(x, t) et ξ(x, t) sont des infiniment petits d’ordre 1. On n´eglige tout terme d’ordre sup´erieure ou ´egale `a 2.
section
S(x)
ξ(x,t)
0
x
ξ(x+dx,t)
x+dx
5
Ox
1. Montrer que le coefficient de dilatation du fluide d´efini par δ =
1 ∂(S(x)ξ(x, t)
dV
s’´ecrit δ =
. En
V0
S(x)
∂x
d´eduire l’expression de p en fonction de χs , S(x) et ξ(x, t).
2. On admet que l’´equation m´ecanique (d´eduite de la RFD appliqu´ee `a la tranche de fluide ´etudi´ee) s’´ecrit
∂2ξ
∂p
encore ρ0 2 (x, t) = − (x, t). Montrer que l’´equation de propagation de la surpression est:
∂t
∂x
1 ∂2p
1 dS(x) ∂p
∂2p
− 2 2 +
=0
2
∂x
c ∂t
S(x) dx ∂x
3. Application 1 : On consid`ere un pavillon `a section exponentielle S(x) = S0 eax o`
u S0 et a sont des r´eels
positifs.
3.a.
3.b.
dispersion.
Ecrire l’´equation de propagation associ´ee au pavillon exponentiel.
On cherche une solution en onde plane de la forme p(x, t) = p0 ej(ωt−kx) . Ecrire la relation de
En toute rigueur, les ondes qui se propagent dans le pavillon ne sont pas planes. Lorsque le pavillon est tr`es
1
a des ondes planes.
peu ´evas´e (soit << λ), on peut assimiler ses ondes `
a
3.c. On pose k = k ′ − jk ′′ . Exprimer k ′ et k ′′ en fonction de ω, c et a. En d´eduire qu’il existe une
fr´equence de coupure fc au del`
a de laquelle les ondes ne se propagent pas. Exprimer fc .
3.d.
A l’entr´ee, la section du pavillon est S0 = 3 cm2 et sa longueur est x0 = 6 cm. On veut
transmettre les fr´equences audibles sup´erieures `a 1 kHz. En d´eduire la section maximale S1 du pavillon `a
la sortie. Calculer le rapport de l’amplitude de l’onde `a la sortie du pavillon sur l’amplitude de l’onde `a
l’entr´ee dans ce cas. On prend c = 340 m/s.
4. Application 2: Le saxophone soprano est mod´elis´e par un tube approximativement conique, ouvert du
cˆ
ot´e du pavillon et quasiment ferm´e `
a l’embouchure. Ce tuyau a pour longueur L, pour angle au sommet α
et pour sommet O.
r(x)
α
0
x
L
Ox
4.a.
Exprimer le rayon r(x) en fonction de α et x et en d´eduire S(x).
4.b.
Montrer que la fonction π(x, t) d´efinie par π(x, t) = xp(x, t) v´erifie l’´equation
4.c.
D´eterminer les valeurs de π(x, t) pour x = 0 et x = L.
∂2π 1 ∂2π
−
= 0.
∂x2 c2 ∂t2
4.d.
On cherche une solution sous la forme d’onde stationnaire, justifier ce choix. En d´eduire
l’expression de π(x, t) et d´eterminer la fr´equence f1 du fondamental.
6

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