Université Paris-Dauphine Année 2013-2014 DEGEAD 2

Universit´e Paris-Dauphine
DEGEAD 2`eme ann´ee
26 Mai 2014
Ann´ee 2013-2014
Calcul matriciel : Contrˆ
ole 2
Les calculatrices et tous les documents sont interdits.
La notation prendra en compte la r´
edaction et la pr´
esentation de la copie.
Exercice 1 : (≈ 9 points)

1 −2 1

0
0 0 
Soient A =
2 −4 2


 


1
1
0
et V = vect (v1 , v2 , v3 ) o`
u v1 =  0 , v2 =  2  et v3 =  −2 .
1
1
0
1. (a)
i. D´eterminer le rang de A et une base de Im(A).
ii. D´eterminer le(s) ´equation(s), la dimension et une base de Ker(A).
(b) D´eterminer la dimension d, une base et les ´equations de V .




2
−1
2. Soit U = vect (u1 , u2 ) o`
u u1 =  1  et u2 =  0 
0
1
(a) V´erifier que U est une base de Ker(A) et en d´eduire que U = Ker(A).
(b)
i. L’espace U ∩ V est-il un sous-espace vectoriel de R3 ? Justifier.
ii. D´eterminer une base de U ∩ V .
(c) Soit W = U + V = {u ∈ U, v ∈ V |w = u + v} un sous-espace vectoriel de R3 .
i. D´eterminer une famille g´en´eratrice de W .
ii. Extraire une base de cette famille.
iii. En d´eduire que : U + V = R3 .
Exercice
 2 : (≈ 3points)
x 1 1
Soit C =  1 y 1  o`
u x et y sont des r´eels.
1 1 1
 
1
Trouver x et y tels que X =  2  soit un vecteur propre de la matrice C.
3
Il est conseill´e d’utiliser la d´efinition d’un vecteur propre.
1
Exercice 3 : (≈ 6 points)

1
0 0

0
1 0 .
Soit M =
1 −1 2
1. (a) Calculer les valeurs propres de M et les vecteurs propres associ´es.
(b) D´eterminer la matrice P et la matrice diagonale D telles que M = P · D · P −1 .
2. Pour cette question, il est conseill´e d’utiliser les r´esultats de la question 1. .
Il n’est pas demand´
e de calculer Q−1 et R−1 .


−2
0
0
0 
(a) Soit N =  0 −2
1 −1 −1
D´eterminer les matrices ∆ et Q telles que N = Q · ∆ · Q−1 .
(b)
i. La matrice M est-elle inversible ? Justifier.
ii. D´eterminer les matrices G et R telles que M −1 = R · G · R−1 .
Exercice 4 : (≈ 2 points)
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que la matrice A · B est diagonalisable.
Montrer que si A ou B est inversible alors la matrice B · A est diagonalisable.
2

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