Un exemple de transformation complexe corrigée

Transformation Complexe
TransComplexe.tex
Un exemple de Transformation Complexe
´
Enonc´
e de l’exercice
1)
Soit f la transformation complexe qui a` tout point M d’affixe z associe le point M 0 = f (M )
d’affixe Z = f (z) d´efinie ainsi :
z
a)
7−→
Z = f (z) =
z+1
iz + 1
Montrer que l’on peut ´ecrire f (z) sous la forme :
f (z) =
deux constantes complexes dont on pr´ecisera la valeur.
u
+v
iz + 1
o`
u u et v sont
b) D´eterminer la nature de la transformation f en la d´ecomposant en transformations
´el´ementaires.
c) Soit D l’axe des r´eels et D0 = f (D) son image par la transformation f .
Repr´esenter pas `a pas la transformation de D sur une nouvelle figure sans oublier de nommer
les interm´ediaires.
d) Soit ∆ l’axe des imaginaires et ∆0 = f (∆) son image par la transformation f .
Repr´esenter de mˆeme la transformation de ∆ sur une seconde figure.
e) Soit C le cercle trigonom´etrique et C 0 = f (C) son image.
Repr´esenter de mˆeme la transformation de C sur une troisi`eme figure.
2)
Correction de l’exercice
a)
On va proc´eder par identification :
u
+v
iz + 1
u + v(i z + 1)
=
iz + 1
(vi)z + (v + u)
=
iz + 1
f (x) =
Comme on a :
f (x) =
On identifie :
vi = 1
v+u = 1
z+1
(vi)z + (v + u)
=
iz + 1
iz + 1
u = 1+i
on calcule :
v = −i
f (x) =
♣ ♥♠
♦
et on en d´eduit :
z+1
1+i
=
−i
iz + 1
iz + 1
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LATEX 2ε
Transformation Complexe
b)
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D´ecomposition en transformations ´el´ementaires : Attention aux notations
f1
f2
f3
z 7−→ z1 = i z 7−→ z2 = z1 + 1 7−→ z3 =
1 f4
f5
7−→ z4 = (1 + i)z3 7−→ Z = f (z) = z4 − i
z2
f = f5 ◦ f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1
Ce qui signifie que f est la compos´ee de f1 , f2 , f3 , f4 et f5 successivement dans cet ordre.
!
z 7−→ Z = f (z) = f5 f4 f3 f2 f1 (z)
Avec :
π
= arg(i)
2
f1
Rotation de centre O et d’angle
f2
f3
f4
Translation de vecteur d’affixe 1
Inversion Complexe
√
π
Similitude de centre O de rapport
2 = |1 + i| et d’angle
= arg(1 + i)
4
Translation de vecteur d’affixe −i
f5
c)
Image de l’axe des r´eels :
f1
f2
f3
f4
f5
D 7−→ D1 7−→ D2 7−→ D3 7−→ D4 7−→ D0 = f (D)
D1
D2
D axe des r´eels
D1 axe des imaginaires
D2 droite verticale d’´equation x = 1
i
D3 cercle de diam`etre 1
1
de centre d’affixe
2
√
D4 cercle de diam`etre 2
1+i
de centre d’affixe
2
√
0
D = f (D) cercle de diam`etre 2
1−i
de centre d’affixe
2
♣ ♥♠
♦
D4
D3
D
0
1
D0 = f (D)
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LATEX 2ε
Transformation Complexe
d)
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Image de l’axe des imaginaires :
f1
f2
f3
f4
f5
∆ 7−→ ∆1 7−→ ∆2 7−→ ∆3 7−→ ∆4 7−→ ∆0 = f (∆)
∆
∆4
∆ axe des imaginaires
i
∆1 axe des r´eels
∆2 axe des r´eels
∆1 = ∆2 = ∆3
∆3 axe des r´eels
0
1
∆0 = f (∆)
∆4 droite d’´equation y = x
∆0 = f (∆) droite d’´equation y = x − 1
e)
Image du cercle trigonom´etrique :
f1
f2
f3
f4
f5
C 7−→ C1 7−→ C2 7−→ C3 7−→ C4 7−→ C 0 = f (C)
C3
C4
C cercle trigonom´etrique
C1 cercle trigonom´etrique
i
C2 cercle de rayon 1
de centre d’affixe 1
C3 droite verticale d’´equation x =
C = C1
1
2
0
1
C2
C4 droite d’´equation y = −x + 1
C 0 = f (C) droite d’´equation y = −x
C 0 = f (C)
♣ ♥♠
♦
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LATEX 2ε

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