Semaine 4 - Anthony Mansuy

Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 4
Espaces vectoriels - R´
eduction


2 −1 −2
Exercice 1
Soit la matrice A =  2 −1 −4.
−1 1
3
1. (a) D´eterminer les valeurs propres de A.
(b) D´eterminer une base de chacun des sous-espace propre de A. On notera X1 , X2 et X3 les
trois vecteurs obtenus.
(c) V´erifier que (X1 , X2 , X3 ) forment une base de M3,1 (R).


2 0 0
(d) Soit la matrice D = 0 1 0. Justifier qu’il existe une matrice inversible P qu’on
0 0 1
explicitera telle que A = P DP −1 .
2. Application: On souhaite d´eterminer le commutant de la matrice A d´efini par:
CA = {M ∈ M3 (R) | AM = M A}.
(a) Montrer que CA est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
(b) On pose N = P −1 M P . Montrer que M appartient `a CA si et seulement si N v´erifie
l’´equation DN = N D.
(c) D´eterminer l’ensemble des matrices N tels que DN = N D.
(d) En d´eduire les matrices de CA .
Exercice 2
On se place dans R3 et on consid`ere les quatre vecteurs v1 = (1, 1, −1), v2 = (1, 2, 4), v3 = (3, −1, a)
et v4 = (2, 3, b).
D´eterminer a et b tels que V ect(v1 , v2 ) = V ect(v3 , v4 ).
1
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 4
Espaces vectoriels - R´
eduction


−1 0
2
Exercice 3
Soit la matrice A =  0 −3 0 .
2
0 −1
1. (a) D´eterminer les valeurs propres de A.
(b) D´eterminer une base de chacun des sous-espace propre de A. On notera X1 , X2 et X3 les
trois vecteurs obtenus.
(c) V´erifier que (X1 , X2 , X3 ) forment une base de M3,1 (R).
(d) Expliciter une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP −1 .
(e) Montrer que, pour tout entier naturel n, An = P Dn P −1 .
(f) Donner explicitement An , ∀ n ∈ N.
2. Application: Soient (xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N trois suites r´eelles telles que x0 = 1, y0 = −3,
z0 = −1 et v´erifiant les relations de r´ecurrences:

 xn+1 = −xn + 2zn
yn+1 = −3yn

zn+1 = 2xn − zn


xn
(a) On pose Xn =  yn . V´erifier que ∀ n ∈ N, Xn+1 = AXn .
zn
(b) Montrer par r´ecurrence que, pour tout n ∈ N, Xn = An X0 .
(c) En d´eduire xn , yn et zn en fonction de n.
Exercice 4
On consid`ere l’ensemble F d´efinie par:
F = {P ∈ R3 [X] | P (1) = P 0 (1) = 0}
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3 [X].
2. D´eterminer une base de F puis sa dimension.
2
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 4
Espaces vectoriels - R´
eduction


2 0
4
Exercice 5
Soit la matrice A = 3 −4 12.
1 −2 5
1. D´eterminer les valeurs propres de A.
2. D´eterminer une base de chacun des sous-espace propre de A. On notera X1 , X2 et X3 les trois
vecteurs obtenus.
3. V´erifier que (X1 , X2 , X3 ) forment une base de M3,1 (R).
4. Expliciter une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP −1 .
5. Montrer que, pour tout entier naturel n, An = P Dn P −1 .
6. Donner explicitement An , ∀ n ∈ N.
Exercice 6
1. Montrer que l’ensemble F d´efini par:
F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 − x3 = 0 et 2x1 + 3x2 + x3 = 0
est un sous-espace vectoriel de R3 .
2. D´eterminer une base de F et en d´eduire sa dimension.
3

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