Semaine 2 - Anthony Mansuy

Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 2
Variables al´
eatoires discr`
etes - Espaces
vectoriels
Exercice 1
1. On d´esigne par Mn,p (R) l’ensemble des matrices de taille n × p `a coefficients r´eelles.
Justifier que Mn,p (R) est un espace vectoriel,

a b
2. Soit E l’ensemble des matrices Ma,b =  b a
b b
donner sa base canonique et sa dimension.

b
b  o`
u (a, b) ∈ R2 .
a
(a) Montrer que E est un espace vectoriel.
(b) D´eterminer une base de E et en d´eduire sa dimension.
(c) Calculer le produit Ma,b × Ma0 ,b0 pour (a, b, a0 , b0 ) ∈ R4 . V´erifier que ce produit appartient
`a E.
Exercice 2
Soit p ∈]0, 1[. Un mobile se d´eplace al´eatoirement par ”sauts” sur les points `a coordonn´ees enti`eres et
positives ou nulles d’un axe d’origine O (d’abscisse ´egale `a 0). Le voyage est organis´e comme suit:
• Le mobile est en O `
a l’instant 0.
• Si le mobile est sur le point d’abscisse k (k ∈ N) `a l’instant n (n ∈ N), alors `a l’instant n + 1, il
sera, soit sur le point d’abscisse (k + 1) avec la probabilit´e p, soit en O avec la probabilit´e 1 − p.
On appelle Xn la variable al´eatoire ´egale `a l’abscisse du mobile `a l’instant n. On a donc X0 = 0.
1. Donner la loi de X1 .
2. Montrer par r´ecurrence que Xn (Ω) = [[0, n]].
3. (a) Montrer que: ∀ n ∈ N∗ , P (Xn = k) = pP (Xn−1 = k − 1).
(b) En d´eduire que: ∀ n ∈ N∗ , E(Xn ) = pE(Xn−1 ) + p.
(c) Pour tout n ∈ N, d´eterminer E(Xn ) en fonction de p et n.
1
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 2
Variables al´
eatoires discr`
etes - Espaces
vectoriels
Exercice 3
1. On d´esigne par Rn l’ensemble des n-uplets de r´eels.
Justifier que Rn est un espace vectoriel, donner sa base canonique et sa dimension.
2. (a) Montrer que l’ensemble F d´efini par:
F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 − x3 = 0 et 2x1 + 3x2 + x3 = 0
est un sous-espace vectoriel de R3 .
(b) D´eterminer une base de F et en d´eduire sa dimension.
Exercice 4
On lance ind´efiniment une pi`ece, donnant Pile avec la probabilit´e p et Face avec la probabilit´e 1 − p
(avec 0 < p < 1). Les lancers sont suppos´es ind´ependants.
Pour tout k ∈ N∗ , on note Pk l’´ev´enement ”obtenir Pile au k-i`eme lancer” et Fk l’´ev´enement ”obtenir
Face au k-i`eme lancer”.
On consid`ere une variable al´eatoire X ´egale au nombre de Faces pr´ec´edant le premier Pile.
1. D´eterminer X(Ω), puis ´ecrire, pour tout n ∈ X(Ω), l’´ev´enement [X = n] `a l’aide de certains des
´ev´enements Pk et Fk , puis donner la loi de X.
2. Montrer que X poss`ede une esp´erance et calculer E(X).
Exercice 5
1
Soient X et Y deux variables al´eatoires binomiales de param`etres n,
ind´ependantes.
2
Calculer P (X = Y ).
2
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 2
Variables al´
eatoires discr`
etes - Espaces
vectoriels
Exercice 6
1. On d´esigne par Rn [X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e ≤ n.
Justifier que Rn [X] est un espace vectoriel, donner sa base canonique et sa dimension.
2. Soit a et b deux r´eels distincts. Pour tout k ∈ [[0, 2]], on note Pk le polynˆome d´efinie par:
Pk (X) = (X − a)k (X − b)2−k .
(a) Montrer que (P0 , P1 , P2 ) est une famille libre de R2 [X].
(b) En d´eduire que c’est une base de R2 [X].
Exercice 7
Soient X et Y deux variables al´eatoires d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω, A, P ) `a valeurs dans N∗ ,
ind´ependantes et telles que:
∀ i ∈ N∗ , P (X = i) = P (Y = i) =
1. Reconnaˆıtre la loi de X et Y .
2. D´eterminer la loi de la variable Z = X + Y .
3. Calculer P (X = Y ).
3
1
.
2i

Download Report