12 - Casio Education

Nombre de solutions d’une ´
equation
´
Enonc´
e
On donne un r´eel k.
On consid`ere l’´equation (E) : ln(x) = kx2 , d’inconnue x.
On s’int´eresse au nombre de solutions de (E), pour x strictement positif.
1. En utilisant les possibilit´e de
graphe dynamique du Fx-CP400 :
(a) Conjecturer, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions de l’´equation (E).
(b) Si k > 0, trouver graphiquement une valeur approch´ee de k pour laquelle
l’´equation (E) a une unique solution.
2. D´emontrer que pour k < 0, l’´equation (E) a une unique solution.
Corrig´
e de l’exercice avec le Fx-CP400
On ouvre l’environnement
Graphe & Table (icˆone
).
On pose y1 = ln(x) et y2 = kx2 (fig1).
On ouvre ensuite le menu Graph dynamique.
On y choisit de faire varier le param`etre k entre les valeurs −1 et 1.
On fixe un incr´ement de 1/10, et on reste mode manuel (fig2).
fig1 : fonctions a` ´etudier
fig2 : choix du graphe dynamique
On lance alors le trac´e (qui d´ebute avec la valeur k = −1).
On a utilis´e ici le zoom
log(x) rapide pour cadrer rapidement les trac´es.
Des appuis successifs sur la touche de d´eplacement (vers la droite pour augmenter k de
1/10 ou vers la gauche pour le diminuer) permettent de suivre l’´evolution de la courbe
y = kx2 et de ses intersections ´eventuelles avec la courbe y = ln(x).
Voici quelques ´etapes de cette ´evolution (fig3 `a fig8).
fig3 : Avec k = −1
fig4 : Avec k = −0, 7
fig5 : Avec k = −0, 4
fig6 : Avec k = −0, 1
fig7 : Avec k = 0, 1
fig8 : Avec k = 0, 3
´
Etude
graphique de l’´
equation (E)
On voit bien, graphiquement que l’´equation ln(x) = kx2 a :
– d’abord une solution unique (tant que k est strictement n´egatif)
– puis qu’elle a deux solution distinctes (tant que k est strictement positif et inf´erieur
a` une valeur k0 comprise entre 0.1 et 0.3)
– puis qu’elle n’a plus de solutions (quand k est strictement sup´erieur a` cette valeur
k0 qui reste a` d´eterminer).
Pour approcher davantage la valeur k0 > 0 pour laquelle le nombre de solutions de
l’´equation ln(x) = kx2 change, on peut faire un Zoom Boˆıte (par exemple de
mani`ere a` inclure au plus pr`es les deux points d’intersection quand k = 0.1).
On modifie alors les param`etres du graphe dynamique de fa¸con a` tracer les courbes
y = kx2 pour 0.1 6 k 6 0.3, avec un pas de 1/100.
Voici trois exemples, avec k = 0, 14 puis k = 0, 18 et enfin k = 0, 19 (fig9 a` fig11).
fig9 : Avec k = 0, 14
fig10 : Avec k = 0, 18
fig11 : Avec k = 0, 19
Il est assez difficile de distinguer ce qui diff´erencie le cas k = 0, 18 du cas k = 0, 19.
Pour en avoir le coeur net, on cherche la ou les intersection(s) des deux courbes (c’est
l’outil Analyse/Solveur graphique/Intersection).
On obtient deux points d’intersection (fig12 et fig13) quand k = 0, 18 (on passe de l’un
a` l’autre par un appui de cot´e sur la touche de d´eplacement).
En revanche, on ne trouve aucun point d’intersection quand k = 0, 19 (fig14).
fig12 : 1`ere intersection
si k = 0, 18
fig13 : 2`eme intersection
si k = 0, 18
fig14 : pas d’intersection
si k = 0, 19
La m´ethode pr´ec´edente ne permet pas approcher tr`es pr´ecis´ement la valeur k0 pour
laquelle l’´equation ln(x) = kx2 admet une seule solution x0 (pour cette valeur de k,
les courbes y = ln(x) et y = kx2 sont tangentes au point (x0 , ln(x0 ))).
La seule chose qu’on puisse dire, au vu des exemples pr´ec´edents, est que la valeurs de
k0 est strictement comprise entre 0, 18 et 0, 19.
Bien que l’´ecran du Fx-CP400 soit tr`es d´etaill´e, on imagine difficilement de chercher
une valeur plus pr´ecise de k avec cette m´ethode.
Une ´
equation ´
equivalente
Mˆeme si la m´ethode pr´ec´edente est int´eressante, la meilleure approche (en tout cas
la plus efficace) consiste a` remplacer l’´equation (E) : ln(x) = kx2 par l’´equation
ln(x)
´equivalente :
(E’) : f (x) = k, avec f (x) =
.
x2
On trace donc la courbe repr´esentative de f (fig15).
On constate que f est d’abord strictement croissante puis strictement d´ecroissante.
Elle passe par un maximum pour x = xc ≈ 1.6487212, qui vaut yc ≈ 0, 1839397 (outil
apr`es un appui sur I).
Analyse/Solveur graphique/Max, ou icˆone
La r´esolution graphique de (E’) (donc de (E)) consiste a` ´etudier les intersections
de la courbe de f avec les droites horizontales y = k (on utilise pour cela l’outil
Analyse/Solveur graphique/Intersection).
On voit clairement qu’il y a une solution unique si k 6 0, deux solutions distinctes si
0 < k < yc , une solution double si k = yc , et aucune solution si k > yc .
` titre d’exemple, on a trac´e la droite y = 0, 10 et on a calcul´e les abscisses de ses
A
points d’intersection avec la courbe y = f (x), qui sont donc les deux solutions de
l’´equation initiale (E) quand k = 0, 10 (fig16 et fig17).
fig15 : f (x) =
ln(x)
x2
fig16 : 1`ere soln si k = 0, 10. fig17 : 2`eme soln si k = 0, 10.
Partie th´
eorique de l’exercice
Pour d´emontrer que l’´equation (E) admet une unique solution si k < 0, on ´etudie le
sens de variation de l’application x 7→ g(x) = ln(x) − kx2 sur R+∗ .
1
− 2kx > 0 (car k > 0).
x
L’application g est donc strictement croissante sur R+∗ .
– Pour tout x > 0, on a g 0 (x) =
– On a lim+ g(x) = −∞ et lim g(x) = +∞ (pas de forme ind´etermin´ee).
x→0
x→+∞
– On en d´eduit que g est une bijection de R+∗ sur R. En particulier, il existe un r´eel
x unique tel que g(x) = 0, c’est-`a-dire une solution unique `a l’´equation (E).

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